Question 1

निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :

(i) 4x² − 3x + 7

(ii) y² + √2

(iii) 3√t + t√2

(iv) y + 2/y

(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰

Accepted Answer

हल:
(i) 4x² − 3x + 7 : यह बहुपद है क्योंकि इसमें चर x के घात पूर्णांक हैं (2, 1, 0) और गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं।

(ii) y² + √2 : यह भी बहुपद है क्योंकि y का घात 2 है और √2 एक स्थिरांक है।

(iii) 3√t + t√2 : इसमें 3√t का अर्थ है 3 × t^{1/2}, जो घात पूर्णांक नहीं है, अतः यह बहुपद नहीं है।

(iv) y + 2/y : यहाँ 2/y = 2 × y^{-1} है, जिसमें y का घात ऋणात्मक है, इसलिए यह बहुपद नहीं है।

(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰ : यह बहुपद है क्योंकि सभी चर के घात पूर्णांक (10, 3, 50) हैं। — बहुपद की परिभाषा के अनुसार, चर के घात पूर्णांक और गैर-ऋणात्मक होने चाहिए। इसलिए (i), (ii), (v) बहुपद हैं, जबकि (iii) और (iv) नहीं हैं क्योंकि उनमें चर के घात पूर्णांक नहीं हैं।

Question 2

निम्नलिखित में से प्रत्येक में $x^2$ का गुणांक लिखिए:
(i) $2 + x^{2} + x$
(ii) $2 - x^{2} + x^{3}$
(iii) $\frac{\pi}{2} x^2 + x$
(iv) $\sqrt{2} x - 1$

Accepted Answer

हल:
(i) $2 + x^{2} + x$ में $x^2$ का गुणांक 1 है।

(ii) $2 - x^{2} + x^{3}$ में $x^2$ का गुणांक -1 है।

(iii) $\frac{\pi}{2} x^2 + x$ में $x^2$ का गुणांक $\frac{\pi}{2}$ है।

(iv) $\sqrt{2} x - 1$ में $x^2$ का पद नहीं है, अतः $x^2$ का गुणांक 0 है। — बहुपद में किसी चर के घात के सामने जो संख्या होती है, वही उसका गुणांक होता है। यदि वह पद नहीं है तो गुणांक 0 माना जाता है।

Question 3

35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।

Accepted Answer

हल:

35 घात के द्विपद का उदाहरण:
$$x^{35} + 1$$
यह द्विपद है क्योंकि इसमें दो पद हैं और उच्चतम घात 35 है।

100 घात के एकपदी का उदाहरण:
$$7x^{100}$$
यह एकपदी है क्योंकि इसमें केवल एक पद है और इसका घात 100 है। — द्विपद में दो पद होते हैं, एकपदी में एक पद होता है। घात बहुपद के चर के सबसे बड़े घात को कहते हैं।

Question 4

निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए :
(i) $5x^{3} + 4x^{2} + 7x$
(ii) $4 - y^{2}$
(iii) $5t - \sqrt{7}$
(iv) 3

Accepted Answer

हल:
(i) $5x^{3} + 4x^{2} + 7x$ का घात 3 है क्योंकि सबसे बड़ा घात 3 है।

(ii) $4 - y^{2}$ का घात 2 है क्योंकि $y^{2}$ का घात 2 है।

(iii) $5t - \sqrt{7}$ का घात 1 है क्योंकि $t$ का घात 1 है।

(iv) 3 का घात 0 है क्योंकि यह एक स्थिरांक है। — बहुपद की घात चर के सबसे बड़े घात के बराबर होती है। स्थिरांक का घात 0 माना जाता है।

Question 5

बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं:
(i) $x^{2} + x$
(ii) $x - x^{3}$
(iii) $y + y^{2} + 4$
(iv) $1 + x$
(v) $3t$
(vi) $r^2$
(vii) $7x^{3}$

Accepted Answer

हल:
(i) $x^{2} + x$ : सबसे बड़ा घात 2 है, अतः द्विघाती बहुपद।

(ii) $x - x^{3}$ : सबसे बड़ा घात 3 है, अतः त्रिघाती बहुपद।

(iii) $y + y^{2} + 4$ : सबसे बड़ा घात 2 है, अतः द्विघाती बहुपद।

(iv) $1 + x$ : सबसे बड़ा घात 1 है, अतः रैखिक बहुपद।

(v) $3t$ : घात 1 है, अतः रैखिक बहुपद।

(vi) $r^2$ : घात 2 है, अतः द्विघाती बहुपद।

(vii) $7x^{3}$ : घात 3 है, अतः त्रिघाती बहुपद। — रैखिक बहुपद का घात 1 होता है, द्विघाती का 2 और त्रिघाती का 3। बहुपद का घात सबसे बड़े घात के बराबर होता है।

Question 6

निम्नलिखित पर बहुपद $5x - 4x^2 + 3$ के मान ज्ञात कीजिए:
(i) $x = 0$
(ii) $x = -1$
(iii) $x = 2$

Accepted Answer

बहुपद है: $5x - 4x^2 + 3$
(i) $x=0$ पर मान:
$5(0) - 4(0)^2 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3$

(ii) $x=-1$ पर मान:
$5(-1) - 4(-1)^2 + 3 = -5 - 4(1) + 3 = -5 - 4 + 3 = -6$

(iii) $x=2$ पर मान:
$5(2) - 4(2)^2 + 3 = 10 - 4(4) + 3 = 10 - 16 + 3 = -3$ — प्रत्येक दिए गए $x$ के मान को बहुपद में प्रतिस्थापित कर गणना की गई है।

Question 7

निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए $p(0), p(1)$ और $p(2)$ ज्ञात कीजिए:
(i) $p(y) = y^2 - y + 1$
(ii) $p(t) = 2 + t + 2t^2 - t^3$
(iii) $p(x) = x^3$
(iv) $p(x) = (x - 1)(x + 1)$

Accepted Answer

(i) $p(y) = y^2 - y + 1$
$p(0) = 0^2 - 0 + 1 = 1$
$p(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$
$p(2) = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$

(ii) $p(t) = 2 + t + 2t^2 - t^3$
$p(0) = 2 + 0 + 0 - 0 = 2$
$p(1) = 2 + 1 + 2(1)^2 - 1^3 = 2 + 1 + 2 - 1 = 4$
$p(2) = 2 + 2 + 2(4) - 8 = 2 + 2 + 8 - 8 = 4$

(iii) $p(x) = x^3$
$p(0) = 0$
$p(1) = 1$
$p(2) = 8$

(iv) $p(x) = (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$
$p(0) = 0^2 - 1 = -1$
$p(1) = 1 - 1 = 0$
$p(2) = 4 - 1 = 3$ — प्रत्येक बहुपद में दिए गए $x$ के मान को प्रतिस्थापित कर मान निकाले गए हैं।

Question 8

सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं:
(i) $p(x) = 3x + 1; x = -\frac{1}{3}$
(ii) $p(x) = 5x - \pi; x = \frac{4}{5}$
(iii) $p(x) = x^2 - 1; x = 1, -1$
(iv) $p(x) = (x + 1)(x - 2); x = -1, 2$
(v) $p(x) = x^2; x = 0$
(vi) $p(x) = lx + m; x = -\frac{m}{l}$
(vii) $p(x) = 3x^2 - 1; x = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}$
(viii) $p(x) = 2x + 1; x = \frac{1}{2}$

Accepted Answer

सत्यापन:
(i) $p(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3}) + 1 = -1 + 1 = 0$ अत: शून्यक है।

(ii) $p(\frac{4}{5}) = 5(\frac{4}{5}) - \pi = 4 - \pi 
eq 0$ (यदि \pi = 4 नहीं है तो शून्यक नहीं)

(iii) $p(1) = 1^2 - 1 = 0$, $p(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$ अत: दोनों शून्यक हैं।

(iv) $p(-1) = (-1 + 1)(-1 - 2) = 0 	imes (-3) = 0$, $p(2) = (2 + 1)(2 - 2) = 3 	imes 0 = 0$ अत: दोनों शून्यक हैं।

(v) $p(0) = 0^2 = 0$ अत: शून्यक है।

(vi) $p(-\frac{m}{l}) = l(-\frac{m}{l}) + m = -m + m = 0$ अत: शून्यक है।

(vii) $p(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 3(\frac{1}{3}) - 1 = 1 - 1 = 0$, पर $p(\frac{2}{\sqrt{3}}) = 3(\frac{4}{3}) - 1 = 4 - 1 = 3 
eq 0$ अत: केवल पहला शून्यक है।

(viii) $p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2}) + 1 = 1 + 1 = 2 
eq 0$ अत: शून्यक नहीं है। — प्रत्येक दिए गए $x$ के मान को बहुपद में प्रतिस्थापित कर मान शून्य है या नहीं जांचा गया।

Question 9

निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) $p(x) = x + 5$
(ii) $p(x) = x - 5$
(iii) $p(x) = 2x + 5$
(iv) $p(x) = 3x - 2$
(v) $p(x) = 3x$
(vi) $p(x) = ax; a 
eq 0$
(vii) $p(x) = cx + d; c 
eq 0, c, d$ वास्तविक संख्याएँ हैं।

Accepted Answer

(i) $p(x) = x + 5$ शून्यक: $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$

(ii) $p(x) = x - 5$ शून्यक: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

(iii) $p(x) = 2x + 5$ शून्यक: $2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}$

(iv) $p(x) = 3x - 2$ शून्यक: $3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

(v) $p(x) = 3x$ शून्यक: $3x = 0 \Rightarrow x = 0$

(vi) $p(x) = ax; a 
eq 0$ शून्यक: $ax = 0 \Rightarrow x = 0$

(vii) $p(x) = cx + d; c 
eq 0$ शून्यक: $cx + d = 0 \Rightarrow x = -\frac{d}{c}$ — प्रत्येक बहुपद को शून्य के बराबर रखकर $x$ का मान निकाला गया है।

Question 10

बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड $x + 1$ है।
(i) $x^3 + x^2 + x + 1$
(ii) $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$
(iii) $x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1$
(iv) $x^3 - x^2 - (2 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}$

Accepted Answer

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $x + 1$ बहुपद $p(x)$ का गुणनखंड है, तो $p(-1) = 0$ होगा। अतः प्रत्येक बहुपद में $x = -1$ रखकर जांच करते हैं:

(i) $p(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 -1 + 1 = 0$ इसलिए $x + 1$ इसका गुणनखंड है।

(ii) $p(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 -1 + 1 -1 + 1 = 1 
eq 0$ इसलिए $x + 1$ इसका गुणनखंड नहीं है।

(iii) $p(-1) = (-1)^4 + 3(-1)^3 + 3(-1)^2 + (-1) + 1 = 1 -3 + 3 -1 + 1 = 1$ इसलिए $x + 1$ इसका गुणनखंड नहीं है।

(iv) $p(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (2 + \sqrt{2})(-1) + \sqrt{2} = -1 -1 + 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 0$ (सटीक मान की जांच करें)

चूंकि $p(-1) = 0$, अतः $x + 1$ इसका गुणनखंड है। — गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $x + 1$ बहुपद $p(x)$ का गुणनखंड है, तो $p(-1) = 0$ होगा। प्रत्येक बहुपद में $x = -1$ रखकर जांच की गई। जहाँ $p(-1) = 0$ प्राप्त हुआ, वहाँ $x + 1$ गुणनखंड है।

Question 11

गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में $g(x)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है या नहीं:
(i) $p(x) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1$, $g(x) = x + 1$
(ii) $p(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$, $g(x) = x + 2$
(iii) $p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$, $g(x) = x - 3$

Accepted Answer

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $g(x) = x - a$ बहुपद $p(x)$ का गुणनखंड है, तो $p(a) = 0$ होगा। अतः प्रत्येक स्थिति में $p(a)$ की गणना करते हैं:

(i) $g(x) = x + 1 \Rightarrow a = -1$
$p(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) - 1 = -2 + 1 + 2 - 1 = 0$
अतः $x + 1$ गुणनखंड है।

(ii) $g(x) = x + 2 \Rightarrow a = -2$
$p(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 1 = -8 + 12 - 6 + 1 = -1 
eq 0$
अतः $x + 2$ गुणनखंड नहीं है।

(iii) $g(x) = x - 3 \Rightarrow a = 3$
$p(3) = 3^3 - 4(3)^2 + 3 + 6 = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$
अतः $x - 3$ गुणनखंड है। — गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, $g(x) = x - a$ बहुपद $p(x)$ का गुणनखंड तभी होगा जब $p(a) = 0$ हो। प्रत्येक दिए गए $a$ के लिए $p(a)$ की गणना की गई। जहाँ $p(a) = 0$ प्राप्त हुआ, वहाँ $g(x)$ गुणनखंड है।

Question 12

$k$ का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में $(x - 1)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड हो :
(i) $p(x) = x^2 + x + k$
(ii) $p(x) = 2x^2 + kx + \sqrt{2}$
(iii) $p(x) = kx^2 - \sqrt{2}x + 1$
(iv) $p(x) = kx^2 - 3x + k$

Accepted Answer

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $(x - 1)$ बहुपद $p(x)$ का गुणनखंड है, तो $p(1) = 0$ होगा। प्रत्येक बहुपद में $x = 1$ रखकर $k$ का मान ज्ञात करते हैं:

(i) $p(1) = 1^2 + 1 + k = 1 + 1 + k = 2 + k = 0 \Rightarrow k = -2$

(ii) $p(1) = 2(1)^2 + k(1) + \sqrt{2} = 2 + k + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow k = -2 - \sqrt{2}$

(iii) $p(1) = k(1)^2 - \sqrt{2}(1) + 1 = k - \sqrt{2} + 1 = 0 \Rightarrow k = \sqrt{2} - 1$

(iv) $p(1) = k(1)^2 - 3(1) + k = k - 3 + k = 2k - 3 = 0 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$ — गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, $(x - 1)$ बहुपद $p(x)$ का गुणनखंड तभी होगा जब $p(1) = 0$ हो। प्रत्येक बहुपद में $x=1$ रखकर समीकरण बनाकर $k$ का मान निकाला गया।

Question 13

गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(i) $12x^2 - 7x + 1$
(ii) $2x^2 + 7x + 3$
(iii) $6x^2 + 5x - 6$
(iv) $3x^2 - x - 4$

Accepted Answer

गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, हम द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ को दो रेखीय गुणनखंडों के रूप में लिखेंगे: $(mx + n)(px + q)$ जहाँ $m p = a$, $n q = c$ और $m q + n p = b$।

(i) $12x^2 - 7x + 1$
$a=12, b=-7, c=1$

संभावित गुणनखंड: $(3x - 1)(4x - 1)$
जांच: $3x 	imes 4x = 12x^2$, $-1 	imes -1 = 1$, मध्य पद: $3 	imes -1 + (-1) 	imes 4 = -3 -4 = -7x$
अतः गुणनखंड: $(3x - 1)(4x - 1)$

(ii) $2x^2 + 7x + 3$
$a=2, b=7, c=3$

संभावित गुणनखंड: $(2x + 1)(x + 3)$
जांच: $2x 	imes x = 2x^2$, $1 	imes 3 = 3$, मध्य पद: $2 	imes 3 + 1 	imes 1 = 6 + 1 = 7x$
अतः गुणनखंड: $(2x + 1)(x + 3)$

(iii) $6x^2 + 5x - 6$
$a=6, b=5, c=-6$

संभावित गुणनखंड: $(3x - 2)(2x + 3)$
जांच: $3x 	imes 2x = 6x^2$, $-2 	imes 3 = -6$, मध्य पद: $3 	imes 3 + (-2) 	imes 2 = 9 - 4 = 5x$
अतः गुणनखंड: $(3x - 2)(2x + 3)$

(iv) $3x^2 - x - 4$
$a=3, b=-1, c=-4$

संभावित गुणनखंड: $(3x + 4)(x - 1)$ या $(3x - 4)(x + 1)$
जांच:
$(3x + 4)(x - 1) = 3x^2 - 3x + 4x - 4 = 3x^2 + x - 4$ (गलत मध्य पद)
$(3x - 4)(x + 1) = 3x^2 + 3x - 4x - 4 = 3x^2 - x - 4$ (सही)
अतः गुणनखंड: $(3x - 4)(x + 1)$ — द्विघात बहुपद को दो रेखीय बहुपदों के गुणनफल के रूप में लिखा गया। गुणनफल की शर्तों के अनुसार गुणनखंडों के गुणांक चुने गए और मध्य पद की पुष्टि की गई।

Question 14

गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(i) $x^3 - 2x^2 - x + 2$
(ii) $x^3 - 3x^2 - 9x - 5$
(iii) $x^3 + 13x^2 + 32x + 20$
(iv) $2y^3 + y^2 - 2y - 1$

Accepted Answer

गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, पहले हम बहुपद के किसी रूट (मूल) को खोजेंगे, फिर बहुपद को विभाजित करके गुणनखंड प्राप्त करेंगे।

(i) $x^3 - 2x^2 - x + 2$
संभावित रूट: $x=1$ पर जांचें:
$p(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$
अतः $x=1$ रूट है, अतः $(x - 1)$ गुणनखंड है।

अब बहुपद को $(x - 1)$ से भाग दें:

$\frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x - 1} = x^2 - x - 2$

अब $x^2 - x - 2$ को गुणनखंड करें:

$(x - 2)(x + 1)$

अतः पूर्ण गुणनखंड:

$(x - 1)(x - 2)(x + 1)$

(ii) $x^3 - 3x^2 - 9x - 5$
संभावित रूट: $x=5$ पर जांचें:
$p(5) = 125 - 75 - 45 - 5 = 0$
अतः $(x - 5)$ गुणनखंड है।

भाग करें:

$\frac{x^3 - 3x^2 - 9x - 5}{x - 5} = x^2 + 2x + 1$

गुणनखंड:

$(x + 1)^2$

अतः पूर्ण गुणनखंड:

$(x - 5)(x + 1)^2$

(iii) $x^3 + 13x^2 + 32x + 20$
संभावित रूट: $x = -5$
$p(-5) = -125 + 325 - 160 + 20 = 60 
eq 0$
$x = -1$ पर जांचें:
$p(-1) = -1 + 13 - 32 + 20 = 0$
अतः $(x + 1)$ गुणनखंड है।

भाग करें:

$\frac{x^3 + 13x^2 + 32x + 20}{x + 1} = x^2 + 12x + 20$

गुणनखंड:

$(x + 10)(x + 2)$

अतः पूर्ण गुणनखंड:

$(x + 1)(x + 10)(x + 2)$

(iv) $2y^3 + y^2 - 2y - 1$
संभावित रूट: $y = 1$
$p(1) = 2 + 1 - 2 - 1 = 0$
अतः $(y - 1)$ गुणनखंड है।

भाग करें:

$\frac{2y^3 + y^2 - 2y - 1}{y - 1} = 2y^2 + 3y + 1$

गुणनखंड:

$(2y + 1)(y + 1)$

अतः पूर्ण गुणनखंड:

$(y - 1)(2y + 1)(y + 1)$ — पहले बहुपद के संभावित रूट खोजे गए। जहाँ रूट मिला, वहाँ से बहुपद को विभाजित किया गया और शेष द्विघात बहुपद को गुणनखंड किया गया। इस प्रकार पूर्ण गुणनखंड प्राप्त हुआ।

Question 15

उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) $(x + 4)(x + 10)$
(ii) $(x + 8)(x - 10)$
(iii) $(3x + 4)(3x - 5)$
(iv) $(y^2 + \frac{3}{2})(y^2 - \frac{3}{2})$
(v) $(3 - 2x)(3 + 2x)$

Accepted Answer

सभी गुणनफल निम्नलिखित हैं:
(i) $(x + 4)(x + 10) = x^2 + 10x + 4x + 40 = x^2 + 14x + 40$

(ii) $(x + 8)(x - 10) = x^2 - 10x + 8x - 80 = x^2 - 2x - 80$

(iii) $(3x + 4)(3x - 5) = 9x^2 - 15x + 12x - 20 = 9x^2 - 3x - 20$

(iv) $(y^2 + \frac{3}{2})(y^2 - \frac{3}{2}) = y^4 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = y^4 - \frac{9}{4}$ (यह दो वर्गों का अंतर है)

(v) $(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - (2x)^2 = 9 - 4x^2$ (यह भी दो वर्गों का अंतर है) — गुणनफल ज्ञात करने के लिए हम सर्वसमिकाओं (algebraic identities) का प्रयोग करते हैं।
(i) और (ii) में सामान्य बहुपद गुणा करते हैं।
(iv) और (v) में दो वर्गों का अंतर का सूत्र प्रयोग किया गया है: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$।

Chapter 2

Chapter 2 — अध्ययन नोट्स

2.1 भूमिका

2.2 एक चर वाले बहुपद

2.3 बहुपद के शून्यक

अभ्यास प्रश्न — Chapter 2

Ganit के सभी 12 अध्याय