Chapter 15

14.1 प्रायिकता — एक सैद्धांतिक दृष्टिकोण

प्रायिकता गणित की वह शाखा है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना का अध्ययन करती है। इस खंड में हम प्रायिकता की सैद्धांतिक परिभाषा और उसके आधारभूत सिद्धांतों को समझेंगे। उदाहरण स्वरूप, जब हम एक सिक्के को यादृच्छया (randomly) उछालते हैं, तो सिक्का दो संभव परिणामों में से किसी एक पर गिर सकता है — चित (Heads) या पट (Tails)। यदि सिक्का न्यायसंगत (fair) है, तो दोनों परिणामों के घटित होने की संभावना समान होती है, जिसे समप्रायिक (equally likely) कहा जाता है। इसी प्रकार, एक न्यायसंगत पासे के छह फलक होते हैं, जिनपर 1 से 6 तक अंक अंकित होते हैं, और प्रत्येक अंक के आने की संभावना समान होती है। हालांकि, सभी प्रयोगों में परिणाम समप्रायिक नहीं होते। उदाहरण के लिए, यदि एक थैले में 4 लाल और 1 नीली गेंद है, तो लाल गेंद निकलने की संभावना नीली गेंद से अधिक होगी। परंतु इस अध्याय में हम समप्रायिक परिणामों की कल्पना मानकर प्रायिकता की गणना करेंगे। कक्षा 9 में हमने प्रायोगिक (experimental) प्रायिकता को परिभाषित किया था, जो किसी घटना के घटित होने की बारंबारता पर आधारित होती है। परंतु कई बार प्रयोग को बार-बार दोहराना व्यावहारिक नहीं होता। इसलिए हम सैद्धांतिक प्रायिकता की परिभाषा लेते हैं, जो परिणामों के समप्रायिक होने की कल्पना पर आधारित होती है। सैद्धांतिक प्रायिकता किसी घटना E के लिए परिभाषित होती है: प्रायिकता P(E) = (E के अनुकूल परिणामों की संख्या) ÷ (प्रयोग के सभी संभव परिणामों की संख्या) यह परिभाषा 1795 में पियरे-साइमन लाप्लास ने दी थी। प्रायिकता सिद्धांत का विकास 16वीं शताब्दी से शुरू हुआ और गणितज्ञों जैसे जेम्स बर्नूली, ए.डी. मोइवरे और लाप्लास ने इसमें महत्वपूर्ण योगदान दिया। आज प्रायिकता का उपयोग जैविकी, अर्थशास्त्र, भौतिकी, समाजशास्त्र आदि क्षेत्रों में होता है। **Table on page 13 (7×7)** | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) | | 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) | | 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) | | 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) | | 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) | | 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) | **Table on page 17 (2×12)** | घटना दोनों पासों की संख्याओं का योग | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | प्रायिकता | 1/36 | | | | | | 5/36 | | | | 1/36 |

• प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना है।
• न्यायसंगत सिक्का या पासे के परिणाम समप्रायिक होते हैं।
• सभी प्रयोगों में परिणाम समप्रायिक नहीं होते, पर इस अध्याय में हम समप्रायिकता मानेंगे।
• सैद्धांतिक प्रायिकता प्रयोग के सभी संभव परिणामों के आधार पर परिभाषित होती है।
• प्रायिकता का विकास 16वीं शताब्दी से शुरू हुआ और लाप्लास ने इसका महत्वपूर्ण योगदान दिया।
• प्रायिकता का उपयोग विभिन्न विज्ञान और सामाजिक क्षेत्रों में होता है।
• 📌 प्रायिकता: किसी घटना के घटित होने की संभावना।
• 📌 समप्रायिक परिणाम: ऐसे परिणाम जिनके घटित होने की संभावना समान हो।
• 📌 सैद्धांतिक प्रायिकता: परिणामों के समप्रायिक होने की कल्पना पर आधारित प्रायिकता।

प्रायिकता की गणना के उदाहरण

इस खंड में हम प्रायिकता की गणना के विभिन्न उदाहरणों को विस्तार से देखेंगे। उदाहरण 1 में, एक सिक्के को एक बार उछालने पर चित या पट आने की प्रायिकता 1/2 होती है क्योंकि संभव परिणाम 2 हैं और प्रत्येक परिणाम समान संभावना वाला है। उदाहरण 2 में, एक थैले में एक लाल, एक नीली और एक पीली गेंद है। बिना देखे एक गेंद निकालने पर प्रत्येक रंग की गेंद निकलने की प्रायिकता 1/3 होती है क्योंकि कुल 3 गेंदें हैं और सभी समान आकार की हैं। उदाहरण 3 में, एक पासे को फेंकने पर 4 से बड़ी संख्या (5 या 6) आने की प्रायिकता 2/6 = 1/3 है, जबकि 4 से छोटी या बराबर संख्या (1, 2, 3, 4) आने की प्रायिकता 4/6 = 2/3 है। यहाँ ध्यान दें कि किसी घटना और उसकी पूरक घटना (जैसे E और E नहीं) की प्रायिकताओं का योग 1 होता है। उदाहरण के लिए, पासे पर 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता 1/3 है और 4 से बड़ी संख्या न आने की प्रायिकता 2/3 है, जिनका योग 1 होता है। इस प्रकार, किसी भी घटना E के लिए P(E) + P(E नहीं) = 1 होता है।

• सिक्के पर चित या पट आने की प्रायिकता 1/2 होती है।
• थैले से बिना देखे गेंद निकालने पर प्रत्येक रंग की गेंद निकलने की प्रायिकता समान होती है।
• पासे पर 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता 1/3 है।
• किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
• प्रारंभिक घटना वह होती है जिसका केवल एक परिणाम होता है।
• 📌 प्रारंभिक घटना: ऐसी घटना जिसका केवल एक ही परिणाम हो।
• 📌 पूरक घटना: घटना E के घटित न होने की घटना, जिसे E नहीं कहते हैं।