Chapter 10
Chapter 10 — अध्ययन नोट्स
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हीरोन का सूत्र
अवधारणाहीरोन का सूत्र
हीरोन का सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना का एक महत्वपूर्ण सूत्र है, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात हों लेकिन ऊँचाई ज्ञात न हो। यह सूत्र प्राचीन यूनानी गणितज्ञ हीरोन द्वारा प्रतिपादित किया गया था, जिनका जन्म संभवत: मिश्र के अलेक्जेंड्रिया में हुआ था। हीरोन ने अनुप्रायोगिक गणित पर कार्य किया और उनके ज्यामितीय कार्य मुख्यतः क्षेत्रमिति से संबंधित थे। उन्होंने त्रिभुज, वर्ग, आयत, समलंब, वृत्त, बेलन, शंकु, गोला आदि के क्षेत्रफलों के लिए सूत्र विकसित किए। हीरोन के सूत्र के अनुसार, यदि त्रिभुज की भुजाएँ a, b, और c हैं, तो पहले त्रिभुज का अर्धपरिमाप (semi-perimeter) s निकालते हैं, जो कि (a + b + c)/2 होता है। फिर क्षेत्रफल A की गणना इस प्रकार होती है: त्रिभुज का क्षेत्रफल = √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)] यह सूत्र विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात न हो या उसे निकालना कठिन हो। इस सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल सीधे भुजाओं के आधार पर प्राप्त किया जा सकता है।
- हीरोन का सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए है।
- यह तब उपयोगी होता है जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात हों लेकिन ऊँचाई ज्ञात न हो।
- अर्धपरिमाप s = (a + b + c)/2 होता है।
- क्षेत्रफल = √[s(s - a)(s - b)(s - c)] होता है।
- हीरोन मिश्र के गणितज्ञ थे जिन्होंने अनुप्रायोगिक गणित पर कार्य किया।
- यह सूत्र ज्यामिति और क्षेत्रमिति की समस्याओं में व्यापक रूप से उपयोगी है।
- 📌 अर्धपरिमाप (semi-perimeter): त्रिभुज के परिमाप का आधा भाग।
- 📌 हीरोन का सूत्र: त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना का सूत्र जो तीनों भुजाओं पर आधारित है।
हीरोन के सूत्र द्वारा क्षेत्रफल की गणना
व्याख्याहीरोन के सूत्र द्वारा क्षेत्रफल की गणना
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके हम त्रिभुज का क्षेत्रफल सीधे उसकी तीनों भुजाओं से निकाल सकते हैं। सबसे पहले त्रिभुज का अर्धपरिमाप s निकालते हैं, जो कि तीनों भुजाओं के योग का आधा होता है। फिर s से प्रत्येक भुजा को घटाते हैं और अंत में इन चार मानों का गुणनफल लेकर उसका वर्गमूल निकालते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए त्रिभुज ABC की भुजाएँ a = 40 मीटर, b = 24 मीटर, और c = 32 मीटर हैं। तो, s = (40 + 24 + 32)/2 = 48 मीटर फिर, s - a = 48 - 40 = 8 मीटर s - b = 48 - 24 = 24 मीटर s - c = 48 - 32 = 16 मीटर क्षेत्रफल = √[48 × 8 × 24 × 16] = √147456 = 384 m² यह क्षेत्रफल पारंपरिक सूत्र (1/2 × आधार × ऊँचाई) से भी मेल खाता है, क्योंकि यह त्रिभुज समकोण त्रिभुज है। इस प्रकार, हीरोन का सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक सरल और प्रभावी तरीका है।
- त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात हों तो हीरोन के सूत्र का प्रयोग करें।
- अर्धपरिमाप s = (a + b + c)/2 निकालें।
- s से प्रत्येक भुजा घटाएं: (s - a), (s - b), (s - c)।
- क्षेत्रफल = √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]।
- यह विधि ऊँचाई ज्ञात न होने पर उपयोगी है।
- हीरोन का सूत्र समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना से मेल खाता है।
- 📌 अर्धपरिमाप (s): त्रिभुज के परिमाप का आधा।
- 📌 क्षेत्रफल: किसी त्रिभुज के अंदर का क्षेत्र।
हीरोन के सूत्र के उदाहरण
व्याख्याहीरोन के सूत्र के उदाहरण
हीरोन के सूत्र के प्रयोग को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं: उदाहरण 1: त्रिभुज की भुजाएँ 8 सेमी, 11 सेमी और 13 सेमी हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। हल: परिमाप = 8 + 11 + 13 = 32 सेमी अर्धपरिमाप s = 32/2 = 16 सेमी s - a = 16 - 8 = 8 सेम
अभ्यास प्रश्न — Chapter 10
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.शून्य बहुपद का शून्यक ______ है।
उत्तर:
कोई वास्तविक संख्या
व्याख्या:
[{"id": "5d5aa181-e5d8-41d3-a689-1f5942999df1", "type": "html", "value": " परंपरा के अनुसार, प्रत्येक वास्तविक संख्या शून्य बहुपद का एक शून्यक होती है। "}]
Q2.x = 2 पर बहुपद x² - 5x + 10 का मान ____ है।
उत्तर:
4
व्याख्या:
[{"id": "5f90494d-9479-4a3f-ab03-e71aa63dfbf0", "type": "html", "value": " p(x)= x² - 5x + 10 p(2)= (2)² - 5(2) + 10 = 4 - 10 + 10 = 4 इसलिए जब x = 2 है तो बहुपद x² - 5x + 10 का मान 4 है। "}]
Q3.बहुपद x² - 4x के शून्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
0, 4
व्याख्या:
[{"id": "9950a801-d387-45ab-9202-c839ba30b545", "type": "html", "value": " बहुपद x² - 4x के शून्यको को ज्ञात करने के लिए हम इसे शून्य के बराबर करेंगे और फिर हल करेंगे। x² - 4x = 0 x(x - 4) = 0 x = 0 or x - 4 = 0 x = 4 इसलिए, बहुपद x² - 4x के शून्यक 0 और 4 हैं। "}]
Q4.बहुपद 12x³ - 24x² - 4x + 8 का एक शून्यक ____ है।
उत्तर:
-2/√12
व्याख्या:
[{"id": "e338cb1b-0431-405d-a4b0-08a9c03d72ad", "type": "html", "value": " माना p(x)= 12x³ - 24x² - 4x + 8 विकल्पों में दिए गए मानों के लिए p (x) का मूल्यांकन कीजिए। p(-2/√12) = (-2/√12)³ - 24 (-2/√12)² - 4(-2/√12) +8 = 0 p(-2) = 12(-2)³ -24(-2)² - 4(-2) + 8 = -176 p(1) =12(1)³ - 24(1)² - 4(1) + 8 = -8 p(12) = 12(12)³ - 24(12)² - 4(12) + 8 = 17,240 केवल विकल्प 1 अर्थात p(-2/√12) में, हमें शून्य के रूप में मान मिल रहा है इसलिए -2/√12 , 12x³ - 24x² - 4x + 8 के शून्यको में से एक है इसलिए, विकल्प 1 सही है | वैकल्पिक रूप से, समीकरण p (x) = 0 का मूल ज्ञात करो। 12x² (x -2) - 4 (x -2) = 0 (12x² - 4) (x - 2) = 0 (√12x + 2) (√12x - 2) (x - 2) = 0 √12x + 2 = 0 √12x - 2 = 0 x -2 = 0 x = -2/√12 x = 2/√12 x = 2 हम देख सकते हैं की विकल्प 1 ,-2/√12 है जो की बहुपद के शून्यको में से एक है। इसलिए, विकल्प 1 सही है "}]
Q5.निम्न कथनों में से कौन सा कथन असत्य हैं?
उत्तर:
बहुपद x² + 7x + 12 का एक शून्यक 4 है
व्याख्या:
[{"id": "17f4b06f-eaf2-4506-838c-07cd778c15d1", "type": "html", "value": " विकल्प 3 सही उत्तर है क्योंकि दिए गए विकल्पों में केवल यही असत्य कथन है। माना p(x)= x² + 7x + 12 X = 4 पर p (x) का मूल्यांकन कीजिए। p(4)= (4)² + 7(4) +12 = 16 + 28 +12 = 56 चूंकि p(4)≠ 0, 4 दिए गए बहुपद का शून्यक नहीं है। दिया गया कथन असत्य है और इस प्रश्न का सही उत्तर है। विकल्प 1 के लिए: 2y + 16 का शून्यक -8 है माना p(y)= 2y +16 p(y)=0 को हल कीजिए। 2y + 16 = 0 2y = -16 y = -16/2 y = -8 2y + 16 का शून्यक -8 है इसलिए विकल्प 1 सत्य है और इस प्रश्न का सही उत्तर नहीं है। विकल्प 2 के लिए: x² + x – 6 का शून्यक -3 है माना p(x) = x² + x – 6 X = -3 पर p (x) का मूल्यांकन कीजिए। p(-3)= (-3)(-3) + (-3) -6 p(-3)= 9 -3 -6 p(-3)= 0 चूंकि -3, x² + x – 6 का शून्यक है इसलिए, विकल्प 2 सत्य है और इस प्रश्न का सही उत्तर नहीं है। विकल्प 4 के लिए: जब x = -2/5 है तो बहुपद 5x² + 7x + 2 का मान 0 है। p(x)= 5x² + 7x + 2 p(-2/5)= 5(-2/5)² + 7(-2/5) + 2 = 5 (4/25) - 14/5 + 2 = 4/5 - 14/5 + 2 = -10/5 + 2 = -10/5 + 10/5 = 0 इसलिए, विकल्प 4 सत्य है और इस प्रश्न का सही उत्तर नहीं है। "}]
Q6.यदि p (x) = √4x² + 5x - 7 है, तो 2p(3) + 9p(⅓) - p(-2) का मूल्यांकन कीजिए।
उत्तर:
15
व्याख्या:
[{"id": "2be39deb-7e71-45d5-b61c-974cb7f2b3cd", "type": "html", "value": " माना p(x) = √4x² + 5x - 7 p(3), p(⅓) और p(-2) का मूल्यांकन कीजिए। p(3) = √4(3)² + 5(3) - 7 p(3) = 2 x 9 + 15 - 7 p(3) = 26 p(⅓) = √4(⅓)² + 5 (⅓) - 7 p(⅓) = 2 x (⅑) + 5/3 - 7 p(⅓) = 2/9 + 5/3 - 7 p(⅓) = 2/9 + 15/9 - 7 p(⅓) = 17/9 - 7 p(⅓) = -46/9 p(-2) = √4(-2)² + 5(-2) - 7 p(-2) = 2 x 4 - 10 - 7 p(-2) = 8 -17 p(-2) = -9 ∴2p(3) + 9p(⅓) - p(-2) = 2 x 26 + 9 x -46/9 - (-9) ∴2p(3) + 9p(⅓) - p(-2) = 52 - 46 + 9 ∴2p(3) + 9p(⅓) - p(-2) = 15 इसलिए, विकल्प 1 सही उत्तर है। "}]
Q7.निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प शून्य बहुपद का एक शून्यक है?
उत्तर:
प्रत्येक वास्तविक संख्या
व्याख्या:
[{"id": "15ae76e7-9cbc-43fd-86ba-a9e9a35e771d", "type": "html", "value": " परंपरा के अनुसार, प्रत्येक वास्तविक संख्या शून्य बहुपद का एक शून्यक होती है। "}]
Q8.बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - त्रिभुज का क्षेत्रफल एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 36√3 सेमी 2 है। तो त्रिभुज का परिमाप निम्न में से क्या है?
उत्तर:
36 सेमी 2