Chapter 1

1.1 द्विघाती समीकरण का परिचय

इस अनुभाग में द्विघाती समीकरण का परिचय दिया गया है। द्विघाती समीकरण वह समीकरण है जिसमें चर (variable) का अधिकतम घात (degree) 2 होता है। सामान्य रूप में, द्विघाती समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जाता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 होता है। द्विघाती समीकरण का अध्ययन गणित के विभिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है, जैसे कि समन्वय ज्यामिति (co-ordinate geometry), गणितीय प्रोग्रामिंग, और भौतिकी में। इस प्रकार के समीकरणों का हल निकालने के लिए विभिन्न विधियाँ अपनाई जाती हैं, जैसे कि गुणनखंड विधि (factorization method), पूर्ण वर्ग विधि (completing the square method), और द्विघाती सूत्र (quadratic formula)। द्विघाती समीकरणों का ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है, जो x-अक्ष को दो, एक, या शून्य स्थानों पर काट सकता है।

• द्विघाती समीकरण का सामान्य रूप ax² + bx + c = 0 है।
• a ≠ 0 होना आवश्यक है, अन्यथा समीकरण द्विघाती नहीं रहेगा।
• द्विघाती समीकरण का ग्राफ परवलय होता है।
• द्विघाती समीकरण के हल निकालने के लिए कई विधियाँ हैं।
• द्विघाती समीकरण का उपयोग गणितीय प्रोग्रामिंग में होता है।
• द्विघाती समीकरण के हल वास्तविक या कल्पित (imaginary) हो सकते हैं।
• 📌 द्विघाती समीकरण: ऐसा समीकरण जिसमें चर का अधिकतम घात 2 होता है।
• 📌 परवलय: द्विघाती समीकरण का ग्राफ, जो U-आकार का होता है।

1.2 द्विघाती समीकरण का मानक रूप

इस अनुभाग में द्विघाती समीकरण के मानक रूप की चर्चा की गई है। द्विघाती समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c = 0 है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0। किसी भी द्विघाती समीकरण को इस मानक रूप में लिखा जा सकता है। यदि समीकरण x² + 3x = 4 है, तो इसे x² + 3x - 4 = 0 के रूप में लिखा जाता है। मानक रूप में समीकरण को लिखने से हल निकालने की प्रक्रिया सरल हो जाती है।

• द्विघाती समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c = 0 है।
• a ≠ 0 होना आवश्यक है।
• समीकरण को मानक रूप में लाने के लिए सभी पदों को एक ओर लाया जाता है।
• मानक रूप में समीकरण हल करना आसान होता है।
• समीकरण के हल निकालने की सभी विधियाँ मानक रूप पर आधारित हैं।
• 📌 मानक रूप: समीकरण का वह स्वरूप जिसमें सभी पद एक ओर होते हैं और दूसरी ओर शून्य।
• 📌 घात: समीकरण में चर का अधिकतम घात 2 है।