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समाकलन | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

समाकलन – this guide gives you a concise, exam-ready overview of समाकलन from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

समाकलन के नियम

समाकलन के नियम अवकलन के नियमों के विपरीत होते हैं और समाकलन की प्रक्रिया को सरल बनाते हैं। ये नियम हमें जटिल फलनों के समाकलन को सरल रूप में करने में सहायता करते हैं। मुख्य समाकलन नियम निम्नलिखित हैं: 1. समाकलन का योग नियम: ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx 2. समाकलन का गुणा नियम (स्थिरांक गुणा): यदि k एक स्थिरांक है, तो ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx 3. मूल फलन का नियम: यदि f(x) = x^n, n ≠ -1, तो ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C 4. समाकलन का प्रतिलोम नियम: ∫ f'(x) dx = f(x) + C 5. समाकलन का विशेष नियम: ∫ 1/x dx = log |x| + C 6. त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन के नियम जैसे ∫ sin x dx = -cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C आदि। इन नियमों का उपयोग करके हम जटिल फलनों के समाकलन को सरलता से कर सकते हैं।

📊 Diagram: इस अनुभाग में समाकलन के नियमों को समझाने के लिए सरल फलनों के ग्राफ और उनके समाकलनों के ग्राफ दिखाए गए हैं।

🧪 Activity: इस अनुभाग में कोई विशेष गतिविधि नहीं है।

🔗 Connection: यह अनुभाग उप-प्रतिस्थापन विधि और भाग-भाग से समाकलन जैसी तकनीकों को समझने के लिए आवश्यक नियमों का परिचय देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

∫secx(secx+tanx)dx का मान क्या होगा?

secx + tanx + c

∫log x dx. का मान क्या होगा?

x log⁡x-x+c

∫cos⁡(2x+3)dx का मान क्या होगा?

(sin⁡(2x+3))/2 + c

निम्नलिखित फलनों के प्रतिअवकलज (समाकलन) निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए। 1. $\sin 2x$ 2. $\cos 3x$ 3. $e^{2x}$ 4. $(ax + b)^2$ 5. $\sin 2x - 4 e^{3x}$ निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए: 6. $\int (4 e^{3x} + 1) \, dx$ 7. $\int x^2 (1 - \frac{1}{x^2}) \, dx$ 8. $\int (ax^2 + bx + c) \, dx$ 9. $\int (2x^2 + e^x) \, dx$ 10. $\int \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 \, dx$ 11. $\int \frac{x^3 + 5x^2 - 4}{x^2} \, dx$ 12. $\int \frac{x^3 + 3x + 4}{\sqrt{x}} \, dx$ 13. $\int \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x - 1} \, dx$ 14. $\int (1 - x) \sqrt{x} \, dx$ 15. $\int \sqrt{x} (3x^2 + 2x + 3) \, dx$ 16. $\int (2x - 3\cos x + e^x) \, dx$ 17. $\int (2x^2 - 3\sin x + 5\sqrt{x}) \, dx$ 18. $\int \sec x (\sec x + \tan x) \, dx$ 19. $\int \frac{\sec^2 x}{\csc^2 x} \, dx$ 20. $\int \frac{2 - 3\sin x}{\cos^2 x} \, dx$

1. $\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$

2. $\int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} \sin 3x + C$

3. $\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$

4. $\int (ax + b)^2 \, dx = \int (a^2 x^2 + 2abx + b^2) \, dx = \frac{a^2 x^3}{3} + ab x^2 + b^2 x + C$

5. $\int (\sin 2x - 4 e^{3x}) \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x - \frac{4}{3} e^{3x} + C$

6. $\int (4 e^{3x} + 1) \, dx = \frac{4}{3} e^{3x} + x + C$

7. $\int x^2 (1 - \frac{1}{x^2}) \, dx = \int (x^2 - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x + C$

8. $\int

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