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समाकलन | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

समाकलन – this guide gives you a concise, exam-ready overview of समाकलन from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

समाकलन का परिचय

समाकलन गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है जो अवकलन (Differentiation) की व्युत्क्रिया (Inverse) प्रक्रिया है। यदि किसी फलन f(x) का अवकलन ज्ञात हो, तो समाकलन द्वारा मूल फलन F(x) प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ F'(x) = f(x)। समाकलन का मुख्य उद्देश्य किसी फलन के क्षेत्रफल, घनफल, दूरी आदि की गणना करना है। समाकलन को ∫ f(x) dx के रूप में लिखा जाता है, जहाँ ∫ समाकलन चिह्न है, f(x) समाकलित फलन है, और dx स्वतंत्र चर x के छोटे परिवर्तन को दर्शाता है। समाकलन की प्रक्रिया अवकलन की प्रक्रिया के विपरीत होती है, इसलिए इसे अवकलन का व्युत्क्रम भी कहा जाता है। समाकलन दो प्रकार का होता है: अपरिमित समाकलन (Indefinite Integration) और निश्चित समाकलन (Definite Integration)। अपरिमित समाकलन में फलन के सभी संभव मूल फलनों का समूह प्राप्त होता है, जबकि निश्चित समाकलन में फलन का समाकलन दो सीमाओं के बीच किया जाता है और परिणाम एक संख्या होती है। समाकलन का उपयोग गणित, भौतिकी, अभियांत्रिकी, अर्थशास्त्र आदि अनेक क्षेत्रों में किया जाता है।

📊 Diagram: इस अनुभाग में समाकलन चिह्न ∫ और अवकलन के विपरीत संबंध को दर्शाने वाला सरल चित्र है, जिसमें f(x) और F(x) के बीच संबंध दिखाया गया है।

🧪 Activity: इस अनुभाग में कोई विशेष गतिविधि नहीं है।

🔗 Connection: यह परिचय समाकलन के नियमों और तकनीकों की समझ के लिए आधार प्रदान करता है, जो अगले अनुभाग में विस्तार से समझाए गए हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

∫secx(secx+tanx)dx का मान क्या होगा?

secx + tanx + c

∫log x dx. का मान क्या होगा?

x log⁡x-x+c

∫cos⁡(2x+3)dx का मान क्या होगा?

(sin⁡(2x+3))/2 + c

निम्नलिखित फलनों के प्रतिअवकलज (समाकलन) निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए। 1. $\sin 2x$ 2. $\cos 3x$ 3. $e^{2x}$ 4. $(ax + b)^2$ 5. $\sin 2x - 4 e^{3x}$ निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए: 6. $\int (4 e^{3x} + 1) \, dx$ 7. $\int x^2 (1 - \frac{1}{x^2}) \, dx$ 8. $\int (ax^2 + bx + c) \, dx$ 9. $\int (2x^2 + e^x) \, dx$ 10. $\int \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 \, dx$ 11. $\int \frac{x^3 + 5x^2 - 4}{x^2} \, dx$ 12. $\int \frac{x^3 + 3x + 4}{\sqrt{x}} \, dx$ 13. $\int \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x - 1} \, dx$ 14. $\int (1 - x) \sqrt{x} \, dx$ 15. $\int \sqrt{x} (3x^2 + 2x + 3) \, dx$ 16. $\int (2x - 3\cos x + e^x) \, dx$ 17. $\int (2x^2 - 3\sin x + 5\sqrt{x}) \, dx$ 18. $\int \sec x (\sec x + \tan x) \, dx$ 19. $\int \frac{\sec^2 x}{\csc^2 x} \, dx$ 20. $\int \frac{2 - 3\sin x}{\cos^2 x} \, dx$

1. $\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$

2. $\int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} \sin 3x + C$

3. $\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$

4. $\int (ax + b)^2 \, dx = \int (a^2 x^2 + 2abx + b^2) \, dx = \frac{a^2 x^3}{3} + ab x^2 + b^2 x + C$

5. $\int (\sin 2x - 4 e^{3x}) \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x - \frac{4}{3} e^{3x} + C$

6. $\int (4 e^{3x} + 1) \, dx = \frac{4}{3} e^{3x} + x + C$

7. $\int x^2 (1 - \frac{1}{x^2}) \, dx = \int (x^2 - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x + C$

8. $\int

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