समुच्चय | Class 11 Mathematics Notes

1.9 समुच्चयों पर संक्रियाएँ (Operations on Sets)

समुच्चयों पर विभिन्न संक्रियाएँ की जाती हैं जिनसे नए समुच्चय बनते हैं। मुख्य संक्रियाएँ हैं: सम्मिलन (Union), सर्वनिष्ठ (Intersection), अंतर (Difference) और पूरक (Complement)।

1.9.1 सम्मिलन (Union): दो समुच्चय A और B का सम्मिलन A ∪ B वह समुच्चय है जिसमें A या B या दोनों के अवयव होते हैं। उदाहरण के लिए, A = {2, 4, 6, 8}, B = {6, 8, 10, 12} का सम्मिलन A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} होता है।

गुणधर्म:

• A ∪ B = B ∪ A (परिवर्ती)
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (साहचर्य)
• A ∪ φ = A
• A ∪ A = A
• U ∪ A = U

1.9.2 सर्वनिष्ठ (Intersection): A ∩ B वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव होते हैं जो A और B दोनों में होते हैं। उदाहरण: A = {2, 4, 6, 8}, B = {6, 8, 10, 12} ⇒ A ∩ B = {6, 8}।

गुणधर्म:

• A ∩ B = B ∩ A
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• φ ∩ A = φ
• U ∩ A = A
• A ∩ A = A
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

1.9.3 अंतर (Difference): A - B वह समुच्चय है जिसमें वे अवयव होते हैं जो A में हैं पर B में नहीं। उदाहरण: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6, 8} ⇒ A - B = {1, 3, 5}।

समुच्चय A - B, A ∩ B और B - A परस्पर असंयुक्त होते हैं।

📊 Diagram: आकृति 1.4; आकृति 1.5; आकृति 1.6; आकृति 1.8; आकृति 1.9; आकृतियाँ 1.7 (i) से (v)

🔗 Connection: अगले अनुभाग में हम समुच्चय के पूरक की अवधारणा और De Morgan के नियमों का अध्ययन करेंगे।