त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय | Class 11 Mathematics Notes
द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन
त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय – this guide gives you a concise, exam-ready overview of त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय from Class 11 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.
11.4 दो बिंदुओं के बीच की दूरी (Distance between Two Points)
त्रिविमीय निर्देशांक प्रणाली में दो बिंदुओं P(x₁, y₁, z₁) और Q(x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी निकालने के लिए पायथागोरस प्रमेय का विस्तार किया जाता है। P और Q से निर्देशांक तलों के समानांतर तल खींचकर एक घनाभ बनता है, जिसका विकर्ण PQ है। पहले त्रिभुज PAQ में, PQ² = PA² + AQ² होता है क्योंकि ∠PAQ समकोण है। फिर त्रिभुज ANQ में, AQ² = AN² + NQ² होता है। इन दोनों से PQ² = PA² + AN² + NQ² होता है। अब, PA = y₂ - y₁, AN = x₂ - x₁ और NQ = z₂ - z₁ होते हैं। अतः दो बिंदुओं के बीच की दूरी PQ = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] होती है। विशेषतः यदि एक बिंदु मूल बिंदु O(0,0,0) हो तो दूरी OQ = √(x₂² + y₂² + z₂²) होती है। इस सूत्र का उपयोग विभिन्न उदाहरणों में किया गया है जैसे दो बिंदुओं के बीच दूरी ज्ञात करना, बिंदुओं के संरेखता की जांच करना, और त्रिभुज के प्रकार का निर्धारण करना।
📊 Diagram: See figure_5: Reprint 2026-27
🧪 Activity: इस खंड में दूरी सूत्र के उपयोग पर आधारित उदाहरण हल किए गए हैं।
🔗 Connection: यह खंड त्रिविमीय ज्यामिति में दूरी की अवधारणा को स्पष्ट करता है, जो आगे के अध्यायों में त्रिभुज क्षेत्रफल, समांतर चतुर्भुज आदि की अवधारणाओं के लिए आधार बनता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
1. एक बिंदु x-अक्ष पर स्थित है। इसके y-निर्देशांक तथा z-निर्देशांक क्या हैं?
यदि बिंदु x-अक्ष पर स्थित है, तो इसका y-निर्देशांक और z-निर्देशांक दोनों शून्य होंगे। अर्थात् y = 0 और z = 0।
2. एक बिंदु XZ-तल में है। इसके y-निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
यदि बिंदु XZ-तल में स्थित है, तो इसका y-निर्देशांक शून्य होगा। अर्थात् y = 0।
3. उन अष्टांशों के नाम बताइए, जिनमें निम्नलिखित बिंदु स्थित हैं। (1, 2, 3), (4, -2, 3), (4, -2, -5), (4, 2, -5), (-4, 2, -5), (-4, 2, 5), (-3, -1, 6) (-2, -4, -7)
अष्टांशों के नाम निम्नलिखित हैं:
1) (1, 2, 3): सभी निर्देशांक धनात्मक हैं → प्रथम अष्टांश 2) (4, -2, 3): x धनात्मक, y ऋणात्मक, z धनात्मक → चौथा अष्टांश 3) (4, -2, -5): x धनात्मक, y ऋणात्मक, z ऋणात्मक → आठवां अष्टांश 4) (4, 2, -5): x धनात्मक, y धनात्मक, z ऋणात्मक → तीसरा अष्टांश 5) (-4, 2, -5): x ऋणात्मक, y धनात्मक, z ऋणात्मक → छठा अष्टांश 6) (-4, 2, 5): x ऋणात्मक, y धनात्मक, z धनात्मक → पाँचवां अष्टांश 7) (-3, -1, 6): x ऋणात्मक, y ऋणात्मक, z धनात्मक → सातवां अष्टांश 8) (-2, -4, -7): सभी निर्देश
4. रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए: (i) x-अक्ष और y-अक्ष दोनों एक साथ मिल कर एक तल बनाते हैं, उस तल को ______ कहते हैं। (ii) XY-तल में एक बिंदु के निर्देशांक ______ रूप के होते हैं। (iii) निर्देशांक तल अंतरिक्ष को ______ अष्टांश में विभाजित करते हैं।
(i) x-अक्ष और y-अक्ष दोनों मिल कर XY-तल बनाते हैं। (ii) XY-तल में एक बिंदु के निर्देशांक (x, y, 0) रूप के होते हैं। (iii) निर्देशांक तल अंतरिक्ष को 8 अष्टांश में विभाजित करते हैं।
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