सहसंबंध | Class 11 Economics Notes

कार्ल पियरसन का सहसंबंध गुणांक (Karl Pearson's Coefficient of Correlation)

इस खंड में कार्ल पियरसन के सहसंबंध गुणांक की परिभाषा, महत्व, गणना के सूत्र और गुणों पर विस्तार से चर्चा की गई है। यह गुणांक दो चरों X और Y के बीच रेखीय संबंध की गहनता और दिशा को मापता है। इसका मान -1 से +1 के बीच होता है। +1 का अर्थ है पूर्ण धनात्मक सहसंबंध, -1 का अर्थ पूर्ण ऋणात्मक सहसंबंध, और 0 का अर्थ है कोई सहसंबंध नहीं।

गणना के लिए पहले X और Y के माध्य (mean) निकालते हैं, जो कि ΣX/N और ΣY/N होते हैं। फिर उनके प्रसरण (variance) σ²x और σ²y निकालते हैं, जो कि Σ(X - X̄)²/N और Σ(Y - Ȳ)²/N के बराबर होते हैं। मानक विचलन (standard deviation) σx और σy इनके वर्गमूल होते हैं। सहप्रसरण (covariance) Cov(X,Y) = Σ(X - X̄)(Y - Ȳ)/N निकालते हैं।

फिर सहसंबंध गुणांक r की गणना निम्नलिखित सूत्रों से की जाती है:

1) r = Σxy / (N × σx × σy) 2) r = Σ(X - X̄)(Y - Ȳ) / √(Σ(X - X̄)² × Σ(Y - Ȳ)²) 3) r = [ΣXY - (ΣX)(ΣY)/N] / √([ΣX² - (ΣX)²/N] × [ΣY² - (ΣY)²/N]) 4) r = [NΣXY - (ΣX)(ΣY)] / √([NΣX² - (ΣX)²] × [NΣY² - (ΣY)²])

यह गुणांक माप की इकाइयों से स्वतंत्र होता है और केवल संबंध की दिशा और घनिष्ठता को दर्शाता है। यदि r का मान 0 के निकट हो तो संबंध कमजोर या न के बराबर होता है, और यदि ±1 के निकट हो तो संबंध प्रबल होता है।

इस खंड में एक उदाहरण दिया गया है जिसमें किसानों द्वारा विद्यालय में बिताए गए वर्षों और प्रति एकड़ वार्षिक उपज के बीच r का परिकलन किया गया है, जिससे धनात्मक सहसंबंध सिद्ध होता है।

📊 Diagram: चित्र 6.1 धनात्मक सहसंबंध; चित्र 6.2 ऋणात्मक सहसंबंध; चित्र 6.3 कोई संबंध नहीं; चित्र 6.4 पूर्ण धनात्मक सहसंबंध; चित्र 6.5 पूर्ण ऋणात्मक सहसंबंध; - यदि r धनात्मक होता है तो दोनों चर एक ही दिशा में गतिमान होते हैं। जब चाय के स्थानापन्न के रूप में कॉफी के दाम बढ़ते हैं, तो चाय की माँग भी बढ़ जाती है। सिंचाई व्यवस्था के सुधार का संबंध फसलों की अधिक पैदावार से रहता है। जब तापमान में वृद्धि होती है, तो आइसक्रीम की बिक्री बढ़ जाती है।

🔗 Connection: यह खंड सहसंबंध गुणांक की गणना के उदाहरणों और पद-विचलन विधि की ओर ले जाता है।