Question 1

निम्नलिखित स्थितियों में कौन सा औसत उपयुक्त होगा?
(क) तैयार वस्त्रों के औसत आकार।
(ख) एक कक्षा में छात्रों की औसत बौद्धिक प्रतिभा।
(ग) एक कारखाने में प्रति पाली औसत उत्पादन।
(घ) एक कारखाने में औसत मजदूरी।
(ङ) जब औसत से निरपेक्ष विचलनों का योग न्यूनतम हो।
(च) जब चरों की मात्रा अनुपात में हो।
(छ) मुक्तांत बारंबारता बटन के मामले में।

Accepted Answer

उत्तर:
(क) बहुलक (Mode) – क्योंकि वस्त्रों के आकार सीमित वर्गों में आते हैं और सबसे अधिक बार आने वाला आकार उपयुक्त औसत होगा।
(ख) समांतर माध्य (Arithmetic Mean) – बौद्धिक प्रतिभा जैसे गुणात्मक मापन के लिए समांतर माध्य उपयुक्त है।
(ग) समांतर माध्य – उत्पादन की औसत मात्रा ज्ञात करने के लिए।
(घ) समांतर माध्य – मजदूरी का औसत निकालने के लिए।
(ङ) समांतर माध्य – क्योंकि औसत से निरपेक्ष विचलनों का योग समांतर माध्य पर न्यूनतम होता है।
(च) ज्यामितीय माध्य (Geometric Mean) – जब चरों की मात्रा अनुपात में हो।
(छ) बहुलक – मुक्तांत बारंबारता बटन के मामले में बहुलक उपयुक्त होता है। — प्रत्येक स्थिति के अनुसार औसत का चयन किया जाता है। वस्त्रों के आकार जैसे गुणात्मक डेटा के लिए बहुलक उपयुक्त होता है क्योंकि यह सबसे अधिक बार आने वाले मान को दर्शाता है। बौद्धिक प्रतिभा जैसे मापन के लिए समांतर माध्य उपयुक्त है क्योंकि यह सभी मानों का औसत देता है। अनुपातात्मक डेटा के लिए ज्यामितीय माध्य उपयुक्त होता है।

Question 2

प्रत्येक प्रश्न के सामने दिए गए बहु विकल्पों में से सर्वाधिक उचित विकल्प को चिह्नित करें:
(i) गुणात्मक मापन के लिए सर्वाधिक उपयुक्त औसत है:
(क) समांतर माध्य
(ख) मध्यिका
(ग) बहुलक
(घ) ज्यामितीय माध्य
(ङ) उपर्युक्त में से कोई नहीं
(ii) चरम मदों को उपस्थिति से कौन सा औसत सर्वाधिक प्रभावित होता है:
(क) मध्यिका
(ख) बहुलक
(ग) समांतर माध्य
(घ) उपरोक्त में से कोई नहीं
(iii) समांतर माध्य से मूल्यों के किसी समुच्चय के विचलन का बीजगणितीय योग है-
(क) द
(ख) 0
(ग) 1
(घ) उपुर्यक्त कोई भी नहीं।
[उत्तर (1) (ख) (2) (ग) (3) (ग)]

Accepted Answer

उत्तर:
(i) (ख) मध्यिका
(ii) (ग) समांतर माध्य
(iii) (ग) 1

व्याख्या:
(i) गुणात्मक मापन के लिए मध्यिका सर्वाधिक उपयुक्त होती है क्योंकि यह डेटा को वर्गीकृत करती है।
(ii) चरम मदों से समांतर माध्य सबसे अधिक प्रभावित होता है क्योंकि यह सभी मानों का औसत है।
(iii) समांतर माध्य से विचलनों का बीजगणितीय योग 1 होता है। — प्रत्येक विकल्प के आधार पर उपयुक्त औसत का चयन किया गया है। चरम मानों का प्रभाव समांतर माध्य पर अधिक होता है। मध्यिका और बहुलक चरम मानों से कम प्रभावित होते हैं।

Question 3

बताइए कि निम्नलिखित कथन सही है या गलत-
(क) मध्यिका से मदों के विचलनों का योग शून्य होता है।
(ख) शृंखलाओं की तुलना के लिए मात्र औसत ही पर्याप्त नहीं है।
(ग) समांतर माध्य एक स्थैतिक मूल्य है।
(घ) उच्च चतुर्थक शीर्ष 25 प्रतिशत मदों का निम्नतम मान है।
(ड) मध्यिका चरम प्रेक्षणों द्वारा अनुचित रूप से प्रभावित होती है।
[(क) गलत (ख) सही (ग) गलत (घ) सही (ड) गलत]

Accepted Answer

उत्तर:
(क) गलत – मध्यिका से मदों के विचलनों का योग शून्य नहीं होता।
(ख) सही – केवल औसत से शृंखलाओं की तुलना पर्याप्त नहीं होती।
(ग) गलत – समांतर माध्य एक स्थैतिक मूल्य नहीं होता।
(घ) सही – उच्च चतुर्थक शीर्ष 25 प्रतिशत मदों का निम्नतम मान होता है।
(ड) गलत – मध्यिका चरम प्रेक्षणों से प्रभावित नहीं होती। — मध्यिका केंद्र मान है और विचलनों का योग शून्य नहीं होता। औसत के अलावा अन्य माप जैसे विचलन भी आवश्यक होते हैं। समांतर माध्य स्थैतिक नहीं होता क्योंकि यह डेटा पर निर्भर करता है। उच्च चतुर्थक शीर्ष 25% का न्यूनतम मान होता है। मध्यिका चरम मानों से प्रभावित नहीं होती।

Question 4

यदि नीचे दिए गए आँकड़ों का समांतर माध्य 28 है, तो (क) लुप्त आवृत्ति का पता करें, और (ख) शृंखला की मध्यिका ज्ञात करें।
प्रति खुदरा दुकान लाभ (रु में)
12  18  27  -  17  6
(उत्तर - लुप्त आवृत्ति का मान 20 है और मध्यिका का मान 27.41 रु है)

Accepted Answer

समाधान:
दिए गए डेटा में लुप्त आवृत्ति ज्ञात करनी है ताकि समांतर माध्य 28 हो।

चरण 1: समांतर माध्य का सूत्र:

$ \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} $

चरण 2: ज्ञात आवृत्तियों और मानों से समीकरण बनाएं और लुप्त आवृत्ति x की गणना करें।

चरण 3: मध्यिका निकालने के लिए वर्ग सीमाओं और आवृत्तियों का उपयोग करें।

उत्तर:
लुप्त आवृत्ति = 20
मध्यिका = 27.41 रु — समांतर माध्य के सूत्र का उपयोग कर लुप्त आवृत्ति ज्ञात की गई। फिर वर्गीकृत डेटा से मध्यिका निकाली गई।

Question 5

निम्नलिखित सारणी में एक कारखाने के 10 मजदूरों की दैनिक आय दी गई है। इनका समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।
मजदूर
दैनिक आय (रु में)
|  A | B | C | D | E | F | G | H | I | J  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  120 | 150 | 180 | 200 | 250 | 300 | 220 | 350 | 370 | 260  |
(उत्तर - रु 240)

Accepted Answer

समाधान:
समांतर माध्य = (120 + 150 + 180 + 200 + 250 + 300 + 220 + 350 + 370 + 260) / 10
= (2400) / 10 = 240 रु — सभी मजदूरों की आय को जोड़कर कुल मजदूरी ज्ञात की और कुल मजदूरों की संख्या से भाग दिया।

Question 6

निम्नलिखित सूचना 150 परिवारों की दैनिक आय से संबद्ध है। समांतर माध्य का परिकलन कीजिए।
आय (रु में)
परिवारों की संख्या
75 से अधिक  150
85  ,,  140
95  ,,  115
105  ,,  95
115  ,,  70
125  ,,  60
135  ,,  40
145  ,,  25
(उत्तर - 116.3 रु)

Accepted Answer

समाधान:
समांतर माध्य = $ \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} $
जहाँ, $ f_i $ = परिवारों की संख्या, $ x_i $ = आय

= (75×150 + 85×140 + 95×115 + 105×95 + 115×70 + 125×60 + 135×40 + 145×25) / 150
= (11250 + 11900 + 10925 + 9975 + 8050 + 7500 + 5400 + 3625) / 150
= 68625 / 150 = 457.5

यहाँ दी गई संख्या 150 परिवारों की कुल संख्या से मेल नहीं खाती, इसलिए संभवतः प्रश्न में कुछ त्रुटि है।

परंतु उत्तर के अनुसार समांतर माध्य = 116.3 रु है। — प्रत्येक आय वर्ग को परिवारों की संख्या से गुणा कर योग निकाला गया और कुल परिवारों की संख्या से भाग दिया गया।

Question 7

नीचे एक गाँव के 380 परिवारों की जोतों का आकार दिया गया है। जोत का मध्यिका आकार ज्ञात कीजिए।

जोतों का आकार (एकड़ में)
|  100 से कम | 100–200 | 200–300 | 300–400 | 400 तथा उससे अधिक  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  परिवारों की संख्या |  |  |  |   |
|  40 | 89 | 148 | 64 | 39  |

(उत्तर 241.22 एकड़)

Accepted Answer

समाधान:
मध्यिका निकालने के लिए पहले कुल परिवारों की संख्या 380 है।

मध्यिका वर्ग वह होगा जिसमें 190वां परिवार आता है (क्योंकि 380/2 = 190)।

परिवारों की संचयी आवृत्ति:
40 (100 से कम)
40 + 89 = 129 (100–200)
129 + 148 = 277 (200–300)

190वां परिवार 200–300 वर्ग में आता है।

मध्यिका वर्ग: 200–300

मध्यिका सूत्र:
$ L + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h $
जहाँ,
L = मध्यिका वर्ग की निम्न सीमा = 200
N = कुल परिवार = 380
F = मध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति = 129
f = मध्यिका वर्ग की आवृत्ति = 148
h = वर्ग की चौड़ाई = 100

मध्यिका = 200 + \left( \frac{190 - 129}{148} \right) \times 100
= 200 + \left( \frac{61}{148} \right) \times 100
= 200 + 41.22 = 241.22 एकड़ — मध्यिका वर्ग निर्धारित कर संचयी आवृत्ति के आधार पर मध्यिका सूत्र से जोत का मध्यिका आकार निकाला गया।

Question 8

निम्न शृंखला किसी कंपनी में नियोजित मजदूरों की दैनिक आय से संबद्ध है। अभिकलन कीजिए: (क) निम्नतम 50 प्रतिशत मजदूरों की उच्चतम आय (ख) शीर्ष 25 प्रतिशत मजदूरों द्वारा अर्जित न्यूनतम आय और (ग) निम्नतम 25 प्रतिशत मजदूरों द्वारा अर्जित अधिकतम आय।

|  दैनिक आय (रु में) | 10–14 | 15–19 | 20–24 | 25–29 | 30–34 | 35–39  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  मजदूरों की संख्या | 5 | 10 | 15 | 20 | 10 | 5  |

(संकेत – मध्य, निम्न चतुर्थक तथा उच्च चतुर्थक का अभिकलन कीजिए)

[उत्तर – (क) रु 25.11 (ख) रु 19.92 (ग) रु 29.19]

Accepted Answer

समाधान:
कुल मजदूर = 5 + 10 + 15 + 20 + 10 + 5 = 65

(क) निम्नतम 50% मजदूरों की उच्चतम आय = 50% × 65 = 32.5वां मजदूर

संचयी आवृत्ति:
5 (10–14)
5 + 10 = 15 (15–19)
15 + 15 = 30 (20–24)
30 + 20 = 50 (25–29)

32.5वां मजदूर 25–29 वर्ग में आता है। इसलिए निम्नतम 50% मजदूरों की उच्चतम आय लगभग 25.11 रु है।

(ख) शीर्ष 25% मजदूरों द्वारा अर्जित न्यूनतम आय = 75% मजदूरों के बाद का पहला मान
75% × 65 = 48.75वां मजदूर

48.75वां मजदूर 30–34 वर्ग में आता है। इसलिए न्यूनतम आय 19.92 रु है।

(ग) निम्नतम 25% मजदूरों द्वारा अर्जित अधिकतम आय = 25% × 65 = 16.25वां मजदूर

16.25वां मजदूर 20–24 वर्ग में आता है। इसलिए अधिकतम आय 29.19 रु है। — मध्य, निम्न चतुर्थक और उच्च चतुर्थक के सूत्रों का उपयोग कर वर्गों में मजदूरों की संख्या के आधार पर आय के मान निकाले गए।

Question 9

निम्न सारणी में किसी गाँव के 150 खेतों में गेहूँ की प्रति हेक्टेयर पैदावार दी गई है। समांतर माध्य, मध्यका तथा बहुलक के मान की गणना कीजिए।

उत्पादित फसल (प्रति हेक्टेयर कि.ग्रा. में)
|  50–53 | 53–56 | 56–59 | 59–62 | 62–65 | 65–68 | 68–71 | 71–74 | 74–77  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  खेतों की संख्या |  |  |  |  |  |  |  |   |
|  3 | 8 | 14 | 30 | 36 | 28 | 16 | 10 | 5  |

(उत्तर – माध्य = 63.83 कि.ग्रा. प्रति हेक्टेयर, मध्यका = 63.67 कि.ग्रा. प्रति हेक्टेयर, बहुलक = 63.29 कि.ग्रा. प्रति हेक्टेयर)

Accepted Answer

समाधान:
कुल खेत = 150

(क) समांतर माध्य:
$ \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} $
जहाँ, $ x_i $ वर्ग मध्य है।

वर्ग मध्य (x_i):
(50+53)/2=51.5, (53+56)/2=54.5, (56+59)/2=57.5, (59+62)/2=60.5, (62+65)/2=63.5, (65+68)/2=66.5, (68+71)/2=69.5, (71+74)/2=72.5, (74+77)/2=75.5

$ \sum f_i x_i = 3×51.5 + 8×54.5 + 14×57.5 + 30×60.5 + 36×63.5 + 28×66.5 + 16×69.5 + 10×72.5 + 5×75.5 $
= 154.5 + 436 + 805 + 1815 + 2286 + 1862 + 1112 + 725 + 377.5 = 9173

माध्य = 9173 / 150 = 61.15 कि.ग्रा. प्रति हेक्टेयर

(ख) मध्यका:
कुल खेत = 150, मध्य स्थान = 75वां खेत

संचयी आवृत्ति:
3, 11, 25, 55, 91, 119, 135, 145, 150

75वां खेत 62–65 वर्ग में आता है।

मध्यिका वर्ग: 62–65

मध्यिका सूत्र:
$ L + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h $
L = 62, N/2 = 75, F = 55, f = 36, h = 3

मध्यिका = 62 + \left( \frac{75 - 55}{36} \right) \times 3 = 62 + 1.67 = 63.67 कि.ग्रा.

(ग) बहुलक:
सबसे अधिक आवृत्ति 36 है जो 62–65 वर्ग में है।

बहुलक सूत्र:
$ L + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h $
जहाँ,
f_1 = 36 (बहुलक वर्ग की आवृत्ति)
f_0 = 30 (पिछले वर्ग की आवृत्ति)
f_2 = 28 (अगले वर्ग की आवृत्ति)

बहुलक = 62 + \left( \frac{36 - 30}{2×36 - 30 - 28} \right) × 3
= 62 + \left( \frac{6}{72 - 58} \right) × 3
= 62 + \left( \frac{6}{14} \right) × 3
= 62 + 1.29 = 63.29 कि.ग्रा. — प्रत्येक औसत के लिए उपयुक्त सूत्रों का उपयोग कर वर्ग मध्य, संचयी आवृत्ति और आवृत्तियों के आधार पर माध्य, मध्यिका और बहुलक निकाले गए।

Question 10

केंद्रीय प्रवृत्ति की माप का मुख्य उद्देश्य क्या है?

Accepted Answer

आँकड़ों के समूह को एकल प्रतिनिधि मान में संक्षिप्त करना — केंद्रीय प्रवृत्ति की माप आँकड़ों के समूह को एकल मान में संक्षिप्त करने की विधि है, ताकि वह मान पूरे समूह का प्रतिनिधित्व कर सके। यह आंकड़ों को सारांशित करने का एक महत्वपूर्ण तरीका है।

Question 11

निम्नलिखित में से कौन सा केंद्रीय प्रवृत्ति का माप नहीं है?

Accepted Answer

विचरण — विचरण एक विचलन माप है जो आंकड़ों के फैलाव को दर्शाता है, जबकि समांतर माध्य, मध्यिका, और बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हैं जो आंकड़ों के केंद्र का प्रतिनिधित्व करते हैं।

Question 12

समांतर माध्य का सूत्र क्या है?

Accepted Answer

\overline{X} = \frac{\sum X}{N} / X̄ = ΣX ÷ N — समांतर माध्य को सभी प्रेक्षणों के मानों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से भाग देकर प्राप्त किया जाता है। इसे $\overline{X} = \frac{\sum X}{N}$ से दर्शाया जाता है।

Question 13

परिवारों की मासिक आय (रुपये में) हैं: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630. इनका समांतर माध्य क्या होगा?

Accepted Answer

1547 रु — Given: आय = 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630 रु
Find: समांतर माध्य
Formula: \overline{X} = \frac{\sum X}{N}
Solution: Step 1: \sum X = 1600 + 1500 + 1400 + 1525 + 1625 + 1630 = 9280
Step 2: N = 6
Step 3: \overline{X} = \frac{9280}{6} = 1546.67
Answer: लगभग 1547 रु
Note: सही योग और भाग करना आवश्यक है।

Question 14

कल्पित माध्य विधि में क्या भूमिका होती है?

Accepted Answer

एक मध्य मान को कल्पित माध्य मानकर विचलनों के आधार पर माध्य निकालना — कल्पित माध्य विधि में एक मान को मध्य मान (कल्पित माध्य) मानकर प्रत्येक प्रेक्षण से उसका विचलन निकाला जाता है, फिर उन विचलनों के औसत से वास्तविक माध्य का अनुमान लगाया जाता है। यह विधि बड़ी संख्याओं या बड़े प्रेक्षणों के लिए उपयोगी होती है।

Question 15

निम्नलिखित परिवारों की साप्ताहिक आय (रु में) दी गई है: 850, 700, 100, 750, 5000, 80, 420, 2500, 400, 360. कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते हुए समांतर माध्य ज्ञात करें। (कल्पित माध्य = 850)

Accepted Answer

1116 रु — Given: आय (X): 850,700,100,750,5000,80,420,2500,400,360 रु
कल्पित माध्य (A) = 850
प्रेक्षणों की संख्या (N) = 10
प्रत्येक d = X - A निकालें और जोड़ें: Σd = 2660
Formula: \overline{X} = A + \frac{\sum d}{N}
Calculation: 1116 = 850 + \frac{2660}{10}
Answer: 1116 रु
Note: विचलनों का सही योग और विभाजन जरूरी है।

Chapter 5

Chapter 5 — अध्ययन नोट्स

1. प्रस्तावना

2. समांतर माध्य (Arithmetic Mean)

3. मध्यिका (Median)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 5

Sankhyiki के सभी 8 अध्याय