Chapter 3

आव्यूह की परिभाषा

आव्यूह (Matrix) गणित की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जो संख्याओं या प्रतीकों की एक आयताकार व्यवस्था होती है। इसे पंक्तियों (rows) और स्तंभों (columns) में व्यवस्थित किया जाता है। यदि आव्यूह में m पंक्तियाँ और n स्तंभ हों, तो इसे m×n आव्यूह कहा जाता है। प्रत्येक तत्व को उसके पंक्ति और स्तंभ के स्थान से पहचाना जाता है, जैसे कि aᵢⱼ जहाँ i पंक्ति संख्या और j स्तंभ संख्या दर्शाता है। आव्यूह का उपयोग रैखिक बीजगणित में विभिन्न समस्याओं को हल करने, रैखिक समीकरणों के समूह को व्यवस्थित करने, और गणितीय तथा भौतिक विज्ञान की कई शाखाओं में किया जाता है। आव्यूहों की सहायता से जटिल गणनाओं को सरल और व्यवस्थित रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

• आव्यूह संख्याओं या प्रतीकों की आयताकार व्यवस्था होती है।
• आव्यूह में m पंक्तियाँ और n स्तंभ होते हैं, इसे m×n आव्यूह कहते हैं।
• प्रत्येक तत्व को aᵢⱼ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ i पंक्ति और j स्तंभ है।
• आव्यूह रैखिक समीकरणों, गणितीय मॉडलिंग, और विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग होता है।
• आव्यूहों के माध्यम से गणितीय क्रियाएँ जैसे जोड़, घटाव, गुणा आदि की जाती हैं।
• 📌 आव्यूह: संख्याओं या प्रतीकों की आयताकार व्यवस्था।
• 📌 पंक्ति (Row): आव्यूह की क्षैतिज पंक्ति।
• 📌 स्तंभ (Column): आव्यूह का ऊर्ध्वाधर स्तंभ।

आव्यूह के प्रकार

आव्यूहों के कई प्रकार होते हैं, जिनकी अपनी-अपनी विशेषताएँ और उपयोग होते हैं। मुख्य प्रकार निम्नलिखित हैं: 1. वर्ग आव्यूह (Square Matrix): ऐसी आव्यूह जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है, जैसे 2×2, 3×3 आदि। 2. शून्य आव्यूह (Zero Matrix): जिसमें सभी तत्व शून्य होते हैं। इसे O से दर्शाया जाता है। 3. तिरछा आव्यूह (Diagonal Matrix): वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य तिरछे (diagonal) के अलावा सभी तत्व शून्य होते हैं। 4. इकाई आव्यूह (Identity Matrix): एक विशेष तिरछा आव्यूह जिसमें मुख्य तिरछे के सभी तत्व 1 होते हैं और शेष सभी 0। इसे I से दर्शाया जाता है। 5. ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह (Upper Triangular Matrix): वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य तिरछे के नीचे के सभी तत्व शून्य होते हैं। 6. निचली त्रिकोणीय आव्यूह (Lower Triangular Matrix): वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य तिरछे के ऊपर के सभी तत्व शून्य होते हैं। 7. सममित आव्यूह (Symmetric Matrix): वर्ग आव्यूह जिसका ट्रांसपोज़ स्वयं के बराबर होता है। अर्थात् A = Aᵗ। 8. विषमित आव्यूह (Skew-Symmetric Matrix): वर्ग आव्यूह जिसका ट्रांसपोज़ उसके ऋणात्मक के बराबर होता है, अर्थात् Aᵗ = -A।

• वर्ग आव्यूह में पंक्तियाँ और स्तंभ समान संख्या में होते हैं।
• शून्य आव्यूह के सभी तत्व शून्य होते हैं।
• तिरछा आव्यूह में मुख्य तिरछे के अलावा सभी तत्व शून्य होते हैं।
• इकाई आव्यूह में मुख्य तिरछे के तत्व 1 और अन्य सभी 0 होते हैं।
• सममित आव्यूह में A = Aᵗ होता है।
• विषमित आव्यूह में Aᵗ = -A होता है।
• 📌 वर्ग आव्यूह: m = n वाले आव्यूह।
• 📌 शून्य आव्यूह: सभी तत्व शून्य।
• 📌 तिरछा आव्यूह: केवल मुख्य तिरछे के तत्व गैर-शून्य।