Chapter 2

घातों का परिचय

इस खंड में हम घातों (Exponents) की मूल अवधारणा को समझेंगे। घात का अर्थ है किसी संख्या को स्वयं से कितनी बार गुणा किया गया है, इसका संक्षिप्त रूप। उदाहरण के लिए, यदि हम 5 को चार बार गुणा करें, अर्थात् 5 × 5 × 5 × 5, तो इसे हम 5⁴ के रूप में लिख सकते हैं। यहाँ 5 को आधार (Base) कहते हैं और 4 को घात (Exponent) कहते हैं। घात हमें बड़ी संख्या के गुणा को संक्षिप्त रूप में व्यक्त करने की सुविधा देता है। इसी प्रकार, 2 को दस बार गुणा करने पर हमें 2¹⁰ मिलता है, जिसका मान 1024 होता है। घातों का उपयोग केवल संख्याओं के लिए ही नहीं, बल्कि गणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए भी किया जाता है। इससे गणना में आसानी होती है और बड़ी संख्याओं को समझना सरल हो जाता है। इस परिचय में हमने घातों के आधार और घात की परिभाषा, तथा उनके उपयोग की शुरुआत की है।

• घात किसी संख्या को स्वयं से कितनी बार गुणा किया गया है, इसका संक्षिप्त रूप है।
• 5 × 5 × 5 × 5 को 5⁴ लिखा जाता है, जहाँ 5 आधार और 4 घात है।
• घातों से बड़ी संख्याओं को संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है।
• घातों का उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में होता है।
• 📌 आधार (Base): वह संख्या जिसे बार-बार गुणा किया जाता है।
• 📌 घात (Exponent): वह संख्या जो बताती है कि आधार को कितनी बार गुणा किया गया है।

घातों के नियम

घातों के नियम गणित में बहुत महत्वपूर्ण हैं क्योंकि ये हमें घातों के साथ किए जाने वाले विभिन्न गणितीय क्रियाओं को सरलता से करने में मदद करते हैं। मुख्य नियम निम्नलिखित हैं: 1. समान आधार वाले घातों का गुणा: यदि आधार समान हो तो घातों को जोड़ा जाता है। उदाहरण: n^a × n^b = n^{a+b} 2. समान आधार वाले घातों का भाग: यदि आधार समान हो तो घातों को घटाया जाता है। उदाहरण: n^a ÷ n^b = n^{a-b} 3. घात का घात: (n^a)^b = n^{a×b} 4. किसी संख्या का शून्य घात: n^0 = 1 (जहाँ n ≠ 0) 5. नकारात्मक घात: n^{-a} = 1 / n^a इन नियमों के आधार पर हम जटिल गणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, 4³ × 4² = 4^{3+2} = 4^5। इसी प्रकार, (3²)^4 = 3^{2×4} = 3^8। **Table on page 11 (1×3)** | $n^a \times n^b = n^{a+b}$ | $(n^a)^b = (n^b)^a = n^{a \times b}$ | $n^a \div n^b = n^{a-b}$ | | --- | --- | --- | **Table on page 2 (7×6)** | मोड़ | मोटाई | मोड़ | मोटाई | मोड़ | मोटाई | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 1 | 0.002 cm | 7 | 0.128 cm | 13 | 8.192 cm | | 2 | 0.004 cm | 8 | 0.256 cm | 14 | 16.384 cm | | 3 | 0.008 cm | 9 | 0.512 cm | 15 | 32.768 cm | | 4 | 0.016 cm | 10 | 1.024 cm | 16 | 65.536 cm | | 5 | 0.032 cm | 11 | 2.048 cm | 17 | ≈ 131 cm | | 6 | 0.064 cm | 12 | 4.096 cm | | | **Table on page 2 (4×6)** | मोड़ | मोटाई | मोड़ | मोटाई | मोड़ | मोटाई | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 18 | ≈ 262 cm | 21 | | 24 | | | 19 | ≈ 524 cm | 22 | | 25 | | | 20 | ≈ 10.4 m | 23 | | 26 | | **Table on page 2 (3×4)** | मोड़ | मोटाई | मोड़ | मोटाई | | --- | --- | --- | --- | | 27 | ≈ 1.3 km | 29 | | | 28 | | 30 | | **Table on page 2 (6×6)** | मोड़ | मोटाई | मोड़ | मोटाई | मोड़ | मोटाई | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 31 | | 36 | | 41 | | | 32 | | 37 | | 42 | | | 33 | | 38 | | 43 | | | 34 | | 39 | | 44 | | | 35 | | 40 | | 45 | | **Table on page 3 (8×2)** | 4 बार मोड़ना | 0.016 cm | | --- | --- | | 5 बार मोड़ना | 0.032 cm | | 9 बार मोड़ना | 0.512 cm | | --- | --- | | 10 बार मोड़ना | 1.024 cm | | 4 बार मोड़ना | 0.016 cm | | --- | --- | | 6 बार मोड़ना | 0.064 cm | **Table on page 3 (2×3)** | मोड़ | मोटाई | गुना वृद्धि | | --- | --- | --- | | 0 से 10 | 1.024 cm – 0.001 cm **Table on page 6 (1×2)** | --- | --- | | $4^3$ का वर्ग है — $4^3 \times 4^3$ **Table on page 21 (2×2)** | समय (सेकंड में) | वास्तविक संसार की घटनाओं परिघटनाओं से तुलना | | --- | --- | | $10^0 = 1$ सेकंड | - ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद को वापस सतह पर पहुँचने में लगा समय

• समान आधार वाले घातों को गुणा करते समय घातों को जोड़ा जाता है।
• समान आधार वाले घातों को भाग करते समय घातों को घटाया जाता है।
• घात का घात निकालने पर घातों को गुणा किया जाता है।
• किसी संख्या का शून्य घात हमेशा 1 होता है।
• नकारात्मक घात का अर्थ है उस संख्या का व्युत्क्रम।
• 📌 समान आधार (Same base): जब दो या अधिक घातों का आधार एक समान हो।
• 📌 घातों का जोड़ (Addition of exponents): समान आधार वाले घातों के गुणा में घातों को जोड़ा जाता है।
• 📌 घातों का घटाव (Subtraction of exponents): समान आधार वाले घातों के भाग में घातों को घटाया जाता है।