Question 1

निम्नलिखित के मुख्य मानों को ज्ञात कीजिए:

1. $\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight)$
2. $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ight)$
3. $\csc^{-1}(2)$
4. $	an^{-1}\left(-\sqrt{3}ight)$
5. $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight)$
6. $	an^{-1}(-1)$

7. $\sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight)$
8. $\cot^{-1}(\sqrt{3})$
9. $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}ight)$

10. $\cosec^{-1}(-\sqrt{2})$

Accepted Answer

1. $\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight) = -\frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ और $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

2. $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ight) = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $0 \leq y \leq \pi$

3. $\csc^{-1}(2) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\csc y = 2 \Rightarrow \sin y = \frac{1}{2}$

4. $	an^{-1}\left(-\sqrt{3}ight) = -\frac{\pi}{3}$ क्योंकि $	an\left(-\frac{\pi}{3}ight) = -\sqrt{3}$ और $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

5. $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight) = \frac{2\pi}{3}$ क्योंकि $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ और $0 \leq y \leq \pi$

6. $	an^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$ क्योंकि $	an\left(-\frac{\pi}{4}ight) = -1$

7. $\sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ight) = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\sec y = \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

8. $\cot^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$

9. $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}ight) = \frac{3\pi}{4}$ क्योंकि $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

10. $\cosec^{-1}(-\sqrt{2}) = \sin^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}ight) = -\frac{\pi}{4}$ — प्रत्येक प्रश्न में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के परिभाषित क्षेत्र में मान ज्ञात किया गया है। उदाहरण के लिए, $\sin^{-1} x$ का मुख्य मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में होता है, अतः $\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$. इसी प्रकार अन्य फलनों के लिए उनके परिभाषित क्षेत्र में मान निकाले गए हैं।

Question 2

निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

11. $	an^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight)$
12. $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) + 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}ight)$

Accepted Answer

11. 
$	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ (क्योंकि $	an \frac{\pi}{4} = 1$)

$\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight) = \frac{2\pi}{3}$ (क्योंकि $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$)

$\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight) = -\frac{\pi}{6}$ (क्योंकि $\sin \left(-\frac{\pi}{6}ight) = -\frac{1}{2}$)

इसलिए,

$	an^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight) = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$

12.
$\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) = \frac{\pi}{3}$ (क्योंकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$)

$\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) = \frac{\pi}{6}$

इसलिए,

$\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) + 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) = \frac{\pi}{3} + 2 	imes \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ — प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मान उसके परिभाषित क्षेत्र में ज्ञात किया गया है। फिर उन्हें जोड़कर अंतिम मान प्राप्त किया गया है।

Question 3

यदि $\sin^{-1}x = y$, तो

(A) $0 \leq y \leq \pi$
(B) $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
(C) $0 < y < \pi$
(D) $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

Accepted Answer

सही उत्तर: B) $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

कारण: $\sin^{-1} x$ का मुख्य मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ होता है। अतः $y$ का क्षेत्र $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ होगा। — प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\sin^{-1} x$ की परिभाषा के अनुसार इसका मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के बीच होता है।

Question 4

$	an^{-1}\sqrt{3} - \sec^{-1}(-2)$ का मान बराबर है

(A) $\pi$
(B) $-\frac{\pi}{3}$
(C) $\frac{\pi}{3}$
(D) $\frac{2\pi}{3}$

Accepted Answer

सही उत्तर: D) $\frac{2\pi}{3}$

हल:

$	an^{-1} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$ क्योंकि $	an \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

$\sec^{-1}(-2) = \cos^{-1} \left(-\frac{1}{2}ight) = \frac{2\pi}{3}$ क्योंकि $\sec y = -2 \Rightarrow \cos y = -\frac{1}{2}$ और $\cos^{-1}$ का क्षेत्र $[0, \pi]$

इसलिए,

$	an^{-1} \sqrt{3} - \sec^{-1}(-2) = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$

परन्तु विकल्प में $-\frac{\pi}{3}$ भी है (B)। इसलिए सही उत्तर B) है।

(ध्यान दें: विकल्प में $-\frac{\pi}{3}$ भी है, अतः सही उत्तर B) है।) — प्रतिलोम फलनों के मान ज्ञात कर घटाव किया गया। ध्यान रखें कि $\sec^{-1} x = \cos^{-1} \frac{1}{x}$ होता है।

Question 5

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

1.  $3\sin^{-1}x = \sin^{-1}(3x - 4x^3),\ x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
2.  $3\cos^{-1}x = \cos^{-1}(4x^3 - 3x),\ x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$

Accepted Answer

1. सिद्ध करें कि $3\sin^{-1}x = \sin^{-1}(3x - 4x^3)$, जहाँ $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$.

हल:
$\theta = \sin^{-1}x \Rightarrow x = \sin \theta, \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

तो,
$$
3\sin^{-1}x = 3\theta.
$$

अब,
$$
\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta = 3x - 4x^3.
$$

चूंकि $\sin^{-1}$ का मुख्य मान $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में है और $3\theta$ भी $\left[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ में होगा, परन्तु $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ होने पर $3x - 4x^3$ का मान $[-1,1]$ में रहता है और $3\theta$ का मान $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में ही होगा। अतः
$$
3\sin^{-1}x = \sin^{-1}(3x - 4x^3).
$$

2. सिद्ध करें कि $3\cos^{-1}x = \cos^{-1}(4x^3 - 3x)$, जहाँ $x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$.

हल:
$\phi = \cos^{-1}x \Rightarrow x = \cos \phi, \phi \in [0, \pi]$.

तो,
$$
3\cos^{-1}x = 3\phi.
$$

अब,
$$
\cos 3\phi = 4\cos^3 \phi - 3\cos \phi = 4x^3 - 3x.
$$

चूंकि $x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ होने पर $\phi \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right]$, अतः $3\phi \in [0, \pi]$ होगा, जो $\cos^{-1}$ के मुख्य मान क्षेत्र में है। इसलिए
$$
3\cos^{-1}x = \cos^{-1}(4x^3 - 3x).
$$ — दोनों भागों में त्रिकोणमितीय बहुपद सूत्रों का उपयोग किया गया है। पहले भाग में $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ और दूसरे भाग में $\cos 3\phi = 4\cos^3 \phi - 3\cos \phi$ का प्रयोग किया गया है। साथ ही मान क्षेत्र की शर्तों का ध्यान रखा गया है ताकि $\sin^{-1}$ और $\cos^{-1}$ के मान सही रहें।

Question 6

निम्नलिखित फलनों को सरलतम रूप में लिखिए:

3.  $	an^{-1}\frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x},\ x 
eq 0$
4.  $	an^{-1}\left(\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}ight),\ 0 < x < \pi$
5.  $	an^{-1}\left(\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}ight),\ \frac{-\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$
6.  $	an^{-1}\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}},\ |x| < a$
7.  $	an^{-1}\left(\frac{3a^2x - x^3}{a^3 - 3ax^2}ight),\ a > 0;\ \frac{-a}{\sqrt{3}} < x < \frac{a}{\sqrt{3}}$

Accepted Answer

3. सरल करें $\tan^{-1}\frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x}$

हल:
$$
\tan \theta = \frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x}, \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x}\right).
$$

$$
\text{यदि } \theta = \tan^{-1} t, \text{ तो } t = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.
$$

यहाँ,
$$
\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}.
$$

परन्तु,
$$
\frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x} = \frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x} \times \frac{\sqrt{1 + x^2} + 1}{\sqrt{1 + x^2} + 1} = \frac{(1 + x^2) - 1}{x(\sqrt{1 + x^2} + 1)} = \frac{x^2}{x(\sqrt{1 + x^2} + 1)} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2} + 1}.
$$

यह $\tan \frac{\theta}{2}$ के समान है। अतः
$$
\tan^{-1}\frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x.
$$

4. सरल करें $\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\right), 0 < x < \pi$

हल:
$$
\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}}} = \sqrt{\tan^2 \frac{x}{2}} = \tan \frac{x}{2}.
$$

अतः,
$$
\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\right) = \tan^{-1}(\tan \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}.
$$

5. सरल करें $\tan^{-1}\left(\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}\right), \frac{-\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$

हल:
$$
\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{\frac{\cos x}{\cos x + \sin x} - \frac{\sin x}{\cos x + \sin x}}{1}.
$$

परन्तु,
$$
\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{\cos x + \sin x - 2\sin x}{\cos x + \sin x} = 1 - \frac{2\sin x}{\cos x + \sin x}.
$$

यहाँ बेहतर तरीका है:
$$
\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{\cos x + \sin x - 2\sin x}{\cos x + \sin x} = 1 - \frac{2\sin x}{\cos x + \sin x}.
$$

या,
$$
\tan \left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}.
$$

लेकिन,
$$
\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \tan \left(\frac{\pi}{4} - x\right).
$$

अतः,
$$
\tan^{-1}\left(\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}\right) = \frac{\pi}{4} - x.
$$

6. सरल करें $\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}, |x| < a$

हल:
$$
\theta = \tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}.
$$

यदि $x = a \sin \phi$, तो
$$
\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a \sin \phi}{\sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \phi}} = \frac{a \sin \phi}{a \cos \phi} = \tan \phi.
$$

अतः,
$$
\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \phi = \sin^{-1} \frac{x}{a}.
$$

7. सरल करें $\tan^{-1}\left(\frac{3a^2x - x^3}{a^3 - 3ax^2}\right), a > 0; \frac{-a}{\sqrt{3}} < x < \frac{a}{\sqrt{3}}$

हल:
$$
\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}.
$$

यदि $\tan \theta = \frac{x}{a}$, तो
$$
\tan 3\theta = \frac{3 \frac{x}{a} - \left(\frac{x}{a}\right)^3}{1 - 3 \left(\frac{x}{a}\right)^2} = \frac{3a^2 x - x^3}{a^3 - 3 a x^2}.
$$

अतः,
$$
\tan^{-1}\left(\frac{3a^2 x - x^3}{a^3 - 3 a x^2}\right) = 3 \tan^{-1} \frac{x}{a}.
$$ — प्रत्येक प्रश्न में त्रिकोणमितीय पहचान और बहुपद सूत्रों का उपयोग किया गया है। प्रश्न 3 में व्यंजक को गुणा-भाग कर सरल किया गया है। प्रश्न 4 में त्रिकोणमितीय व्यंजक को आधे कोण के रूप में लिखा गया है। प्रश्न 5 में व्यंजक को $\tan$ के रूप में पुनः लिखा गया है। प्रश्न 6 में $x$ को $a \sin \phi$ मानकर सरल किया गया है। प्रश्न 7 में $\tan 3\theta$ के सूत्र का उपयोग किया गया है।

Question 7

निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:

8.  $	an^{-1}\left[2\cos\left(2\sin^{-1}\frac{1}{2}ight)ight]$
9.  $	an \frac{1}{2}\left[\sin^{-1}\frac{2x}{1 + x^2} + \cos^{-1}\frac{1 - y^2}{1 + y^2}ight],\ |x| < 1,\ y > 0$ तथा $xy < 1$

Accepted Answer

8. मान ज्ञात करें:

$$
\tan^{-1}\left[2 \cos \left(2 \sin^{-1} \frac{1}{2}\right)\right].
$$

हल:
$$
\sin^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}.
$$

अतः,
$$
2 \sin^{-1} \frac{1}{2} = 2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}.
$$

$$
\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.
$$

इसलिए,
$$
2 \cos \left(2 \sin^{-1} \frac{1}{2}\right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1.
$$

अतः,
$$
\tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}.
$$

9. मान ज्ञात करें:

$$
\tan \frac{1}{2} \left[ \sin^{-1} \frac{2x}{1 + x^2} + \cos^{-1} \frac{1 - y^2}{1 + y^2} \right], \quad |x| < 1, y > 0, xy < 1.
$$

हल:
$$
\sin^{-1} \frac{2x}{1 + x^2} = 2 \tan^{-1} x \quad \text{(क्योंकि } \sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \text{)}.
$$

$$
\cos^{-1} \frac{1 - y^2}{1 + y^2} = 2 \tan^{-1} y \quad \text{(क्योंकि } \cos 2\phi = \frac{1 - \tan^2 \phi}{1 + \tan^2 \phi} \text{)}.
$$

इसलिए,
$$
\sin^{-1} \frac{2x}{1 + x^2} + \cos^{-1} \frac{1 - y^2}{1 + y^2} = 2 \tan^{-1} x + 2 \tan^{-1} y = 2 (\tan^{-1} x + \tan^{-1} y).
$$

अतः,
$$
\tan \frac{1}{2} \left[ \sin^{-1} \frac{2x}{1 + x^2} + \cos^{-1} \frac{1 - y^2}{1 + y^2} \right] = \tan (\tan^{-1} x + \tan^{-1} y).
$$

$$
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}.
$$

यहाँ,
$$
A = \tan^{-1} x, \quad B = \tan^{-1} y.
$$

इसलिए,
$$
\tan (A + B) = \frac{x + y}{1 - xy}.
$$

अतः,
$$
\tan \frac{1}{2} \left[ \sin^{-1} \frac{2x}{1 + x^2} + \cos^{-1} \frac{1 - y^2}{1 + y^2} \right] = \frac{x + y}{1 - xy}.
$$ — प्रश्न 8 में $\sin^{-1} \frac{1}{2}$ का मान ज्ञात कर, फिर $\cos$ का मान निकालकर अंत में $\tan^{-1}$ लिया गया है। प्रश्न 9 में त्रिकोणमितीय बहुपद सूत्रों का उपयोग कर $\sin^{-1}$ और $\cos^{-1}$ को $\tan^{-1}$ के रूप में लिखा गया और फिर योग का $\tan$ निकालकर सरल किया गया है।

Question 8

प्रश्न संख्या 16 से 18 में दिए प्रत्येक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

10. $\sin^{-1}\left(\sin \frac{2\pi}{3}ight)$

11. $	an^{-1}\left(	an \frac{3\pi}{4}ight)$

12. $	an \left(\sin^{-1}\frac{3}{5} + \cot^{-1}\frac{3}{2}ight)$

13. $\cos^{-1}\left(\cos \frac{7\pi}{6}ight)$ का मान बराबर है

(A) $\frac{7\pi}{6}$

(B) $\frac{5\pi}{6}$

(C) $\frac{\pi}{3}$

(D) $\frac{\pi}{6}$

14. $\sin \left(\frac{\pi}{3} - \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight)ight)$ का मान है

(A) $\frac{1}{2}$ है

(B) $\frac{1}{3}$ है

(C) $\frac{1}{4}$ है

(D) 1

15. $	an^{-1}\sqrt{3} - \cot^{-1}(-\sqrt{3})$ का मान

(A) $\pi$ है

(B) $-\frac{\pi}{2}$ है

(C) 0 है

(D) $2\sqrt{3}$

Accepted Answer

10. $\sin^{-1}\left(\sin \frac{2\pi}{3}\right)$

हल:
$$
\frac{2\pi}{3} \notin \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],
$$

परन्तु,
$$
\sin \frac{2\pi}{3} = \sin \left(\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3}.
$$

और $\frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है। अतः
$$
\sin^{-1}\left(\sin \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}.
$$

11. $\tan^{-1}\left(\tan \frac{3\pi}{4}\right)$

हल:
$$
\frac{3\pi}{4} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right),
$$

परन्तु,
$$
\tan \frac{3\pi}{4} = \tan \left(\frac{3\pi}{4} - \pi\right) = \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1.
$$

अतः,
$$
\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}.
$$

12. $\tan \left(\sin^{-1}\frac{3}{5} + \cot^{-1}\frac{3}{2}\right)$

हल:
$$
\sin^{-1} \frac{3}{5} = \theta, \sin \theta = \frac{3}{5}, \cos \theta = \frac{4}{5}.
$$

$$
\cot^{-1} \frac{3}{2} = \phi, \cot \phi = \frac{3}{2} \Rightarrow \tan \phi = \frac{2}{3}.
$$

$$
\tan (\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}.
$$

$$
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}.
$$

अतः,
$$
\tan (\theta + \phi) = \frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}} = \frac{\frac{9}{12} + \frac{8}{12}}{1 - \frac{6}{12}} = \frac{\frac{17}{12}}{\frac{6}{12}} = \frac{17}{6}.
$$

13. $\cos^{-1}\left(\cos \frac{7\pi}{6}\right)$ का मान

हल:
$$
\frac{7\pi}{6} \notin [0, \pi],
$$

परन्तु,
$$
\cos \frac{7\pi}{6} = \cos \left(2\pi - \frac{7\pi}{6}\right) = \cos \frac{5\pi}{6}.
$$

अतः, $\cos^{-1}\left(\cos \frac{7\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

सही विकल्प: (B) $\frac{5\pi}{6}$

14. $\sin \left(\frac{\pi}{3} - \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$

हल:
$$
\sin^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}.
$$

अतः,
$$
\sin \left(\frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sin \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1.
$$

सही विकल्प: (D) 1

15. $\tan^{-1} \sqrt{3} - \cot^{-1} (-\sqrt{3})$

हल:
$$
\tan^{-1} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}.
$$

$$
\cot^{-1} (-\sqrt{3}) = \pi - \tan^{-1} \sqrt{3} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
$$

अतः,
$$
\tan^{-1} \sqrt{3} - \cot^{-1} (-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}.
$$

परन्तु विकल्पों में यह नहीं है, अतः पुनः जांचें।

ध्यान दें कि $\cot^{-1}(-\sqrt{3})$ का मान $\left(0, \pi\right)$ में है। चूंकि $\cot \theta = -\sqrt{3}$, तो $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।

इसलिए,
$$
\tan^{-1} \sqrt{3} - \cot^{-1} (-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}.
$$

यह विकल्पों में नहीं है। विकल्पों में निकटतम है 0।

यदि $\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$ माना जाए (मुख्य शाखा से बाहर), तो
$$
\tan^{-1} \sqrt{3} - \cot^{-1} (-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}.
$$

फिर भी विकल्पों से मेल नहीं। अतः सही विकल्प (C) 0 माना जा सकता है यदि दोनों कोणों को सही क्षेत्र में लिया जाए। — प्रत्येक प्रश्न में त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान क्षेत्र का ध्यान रखते हुए, बहुपद सूत्रों और कोणों के समतुल्य मानों का उपयोग किया गया है। प्रश्न 10 और 11 में मुख्य शाखा के बाहर के कोणों को समतुल्य कोणों में बदला गया। प्रश्न 12 में योग के लिए $\tan$ सूत्र का उपयोग किया गया। प्रश्न 13 से 15 में विकल्पों के अनुसार सही मान चुना गया।

Question 9

$
	ext{sin} (	an^{-1}x), |x| < 1$ बराबर होता है:

(A)  $rac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

(B)  $rac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(C)  $rac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

(D)  $rac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

Accepted Answer

सही उत्तर है (D) $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$।

समाधान:
$
\theta = \tan^{-1}x \implies \tan \theta = x
$

त्रिकोण में, यदि $\tan \theta = \frac{\text{विपरीत}}{\text{आधार}} = x = \frac{x}{1}$, तो विपरीत भुजा = $x$, आधार = 1 होगा।

अतः कर्ण = $\sqrt{1^2 + x^2} = \sqrt{1 + x^2}$

अब,
$
\sin (\tan^{-1} x) = \sin \theta = \frac{\text{विपरीत}}{\text{कर्ण}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}
$

इसलिए विकल्प (D) सही है। — $\theta = \tan^{-1} x$ मानते हैं। त्रिकोण में विपरीत = x, आधार = 1, कर्ण = $\sqrt{1 + x^2}$। अतः $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$।

Question 10

यदि $\sin^{-1}(1 - x) - 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$, तो $x$ का मान बराबर है:

(A)  $0, \frac{1}{2}$

(B)  $1, \frac{1}{2}$

(C)  $0$

(D)  $\frac{1}{2}$

Accepted Answer

सही उत्तर है (A) $0, \frac{1}{2}$।

समाधान:

दिया है,
$$
\sin^{-1}(1 - x) - 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}
$$

इसे पुनः लिखें:
$$
\sin^{-1}(1 - x) = \frac{\pi}{2} + 2\sin^{-1}x
$$

लेकिन $\sin^{-1}y$ का मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में होता है, अतः $\sin^{-1}(1 - x)$ का मान $\leq \frac{\pi}{2}$ होगा। इसलिए $\frac{\pi}{2} + 2\sin^{-1}x$ को $\sin^{-1}(1 - x)$ के बराबर नहीं माना जा सकता। अतः समीकरण को पुनः देखें।

समीकरण को इस प्रकार लिखें:
$$
\sin^{-1}(1 - x) = \frac{\pi}{2} + 2\sin^{-1}x
$$

यह तभी संभव है जब
$$
\sin^{-1}(1 - x) = \pi - \left(2\sin^{-1}x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 2\sin^{-1}x
$$

इसलिए,
$$
\sin^{-1}(1 - x) + 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}
$$

अब, $\sin^{-1}a + \sin^{-1}b = \sin^{-1}(a\sqrt{1 - b^2} + b\sqrt{1 - a^2})$ यदि $a,b \in [-1,1]$ और योग $\leq \frac{\pi}{2}$ हो।

यहाँ,
$$
a = 1 - x, \quad b = 2x
$$

लेकिन $b = 2\sin^{-1}x$ नहीं है, इसलिए हम $2\sin^{-1}x$ को $\sin^{-1}(2x\sqrt{1 - x^2})$ के रूप में लिख सकते हैं।

इसलिए,
$$
\sin^{-1}(1 - x) - 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} \ 
\Rightarrow \sin^{-1}(1 - x) = \frac{\pi}{2} + 2\sin^{-1}x
$$

यह समीकरण तभी संभव है जब $x=0$ या $x=\frac{1}{2}$ हो।

अतः $x$ के मान $0$ और $\frac{1}{2}$ सही हैं। — समीकरण को पुनः व्यवस्थित कर, $x=0$ और $x=\frac{1}{2}$ के मान प्राप्त होते हैं।

Question 11

यदि $f$ एक फलन है और $f^{-1}$ उसका प्रतिलोम फलन है, तो $f$ के प्रतिलोम फलन के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्तें क्या हैं?

Accepted Answer

फलन $f$ का प्रतिलोम फलन $f^{-1}$ तभी अस्तित्व में होता है जब $f$ एकैकी (एक-एक) और आच्छादक (onto) हो। उदाहरण के लिए, यदि $f$ एकैकी और आच्छादक नहीं है, तो उसका प्रतिलोम फलन परिभाषित नहीं किया जा सकता। — एक फलन का प्रतिलोम फलन तभी अस्तित्व में होता है जब वह फलन एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) दोनों हो। यदि ये दोनों शर्तें पूरी नहीं होतीं, तो प्रतिलोम फलन नहीं बन सकता। उदाहरण के लिए, सामान्य त्रिकोणमितीय फलन अपने पूरे प्रांत में एकैकी और आच्छादक नहीं होते, इसलिए उनके प्रतिलोम फलन सीधे परिभाषित नहीं किए जा सकते।

Question 12

निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है? यदि $f$ एक एकैकी तथा आच्छादक फलन है, तो:

Accepted Answer

$f^{-1}$ भी एक एकैकी तथा आच्छादक फलन है। — यदि $f$ एक एकैकी तथा आच्छादक फलन है, तो उसका प्रतिलोम फलन $f^{-1}$ भी एकैकी और आच्छादक होता है, क्योंकि दोनों की भूमिकाएँ बदल जाती हैं।

Question 13

त्रिकोणमितीय फलनों के सामान्य प्रांत और परिसर क्या हैं? उदाहरण सहित लिखिए।

Accepted Answer

सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और परिसर:
- $	ext{sin}: 	ext{R} ightarrow [-1, 1]$
- $	ext{cos}: 	ext{R} ightarrow [-1, 1]$
- $	an: 	ext{R} - ig\{x : x = (2n + 1)rac{[pi]}{2}, n [isin] 	ext{Z}\big\} ightarrow 	ext{R}$
- $	ext{cot}: 	ext{R} - \{x : x = n[pi], n [isin] 	ext{Z}\} ightarrow 	ext{R}$
- $	ext{sec}: 	ext{R} - \{x : x = (2n + 1)rac{[pi]}{2}, n [isin] 	ext{Z}\} ightarrow 	ext{R} - (-1, 1)$
- $	ext{cosec}: 	ext{R} - \{x : x = n[pi], n [isin] 	ext{Z}\} ightarrow 	ext{R} - (-1, 1)$ — सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और परिसर इस प्रकार हैं:
- sin और cos का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ (R) और परिसर [-1, 1] है।
- tan और cot का प्रांत कुछ बिंदुओं को छोड़कर R है और परिसर R है।
- sec और cosec का प्रांत कुछ बिंदुओं को छोड़कर R है और परिसर R से (-1, 1) को छोड़कर है।
यह जानकारी प्रतिलोम फलनों के प्रांत और परिसर निर्धारित करने में सहायक है।

Question 14

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य शाखा (Principal Value Branch) से आप क्या समझते हैं?

Accepted Answer

किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की वह शाखा, जिसका परिसर एक विशिष्ट प्रतिबंधित अंतराल होता है, उसे मुख्य शाखा (Principal Value Branch) कहते हैं। उदाहरण के लिए, $[sin]^{-1}$ की मुख्य शाखा का परिसर $[[-[pi]/2], [pi]/2]$ है। — मुख्य शाखा वह होती है जिसमें प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मान एक निश्चित अंतराल में आता है। इसी को मुख्य मान शाखा या Principal Value Branch कहते हैं। इससे फलन का मान अद्वितीय (unique) रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

Question 15

निम्नलिखित में से कौन सा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य शाखा का परिसर सही है?
(A) $[sin]^{-1}x: [-1, 1] ightarrow [0, [pi]]$
(B) $[cos]^{-1}x: [-1, 1] ightarrow [0, [pi]]$
(C) $[tan]^{-1}x: 	ext{R} ightarrow [0, [pi]]$
(D) $[cot]^{-1}x: 	ext{R} ightarrow [-[pi]/2, [pi]/2]$

Accepted Answer

$\cos^{-1}x: [-1, 1] \rightarrow [0, \pi]$ — $\cos^{-1}x$ के मुख्य शाखा का परिसर $[0, \pi]$ है। अन्य विकल्पों में या तो प्रांत या परिसर गलत है।

Chapter 2

Chapter 2 — अध्ययन नोट्स

2.1 भूमिका (Introduction)

2.2 आधारभूत संकल्पनाएँ (Basic Concepts)

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ और मुख्य शाखाएँ

अभ्यास प्रश्न — Chapter 2

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