Chapter 1
Chapter 1 — अध्ययन नोट्स
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वर्ग क्या है?
परिभाषावर्ग क्या है?
वर्ग एक संख्या को स्वयं से गुणा करने की क्रिया है। यदि किसी संख्या n को स्वयं से गुणा किया जाए, तो जो परिणाम प्राप्त होता है, उसे उस संख्या का वर्ग कहते हैं। इसे गणितीय रूप में n × n = n² लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9, इसी प्रकार 4 × 4 = 16 होता है। वर्ग संख्याएँ हमेशा धनात्मक होती हैं क्योंकि दो समान संख्याओं के गुणन का परिणाम धनात्मक होता है। वर्ग संख्याओं का उपयोग ज्यामिति में क्षेत्रफल निकालने के लिए किया जाता है, जैसे कि एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना उसकी भुजा के वर्ग के बराबर होती है। इस अध्याय में हम वर्ग की परिभाषा, गुण, और उनके विभिन्न उदाहरणों को विस्तार से समझेंगे। **Table on page 3 (12×2)** | --- | --- | | 1 | 1 × 1 = 1 वर्ग इकाई | | 2 | 2 × 2 = 4 वर्ग इकाई | | 3 | 3 × 3 = 9 वर्ग इकाई | | 4 | 4 × 4 = 16 वर्ग इकाई | | 5 | 5 × 5 = 25 वर्ग इकाई | | 10 | 10 × 10 = 100 वर्ग इकाई | | | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | **Table on page 4 (10×3)** | 1² = 1 | 11² = 121 | 21² = 441 | | --- | --- | --- | | 2² = 4 | 12² = | 22² = | | 3² = 9 | 13² = | | | 4² = 16 | 14² = | | | 5² = 25 | 15² = | | | 6² = | 16² = | | | 7² = | 17² = | | | 8² = | 18² = | | | 9² = | 19² = | | | 10² = | 20² = | | **Table on page 7 (2×5)** | 38 - 1 = 37 | 37 - 3 = 34 | 34 - 5 = 29 | 29 - 7 = 22 | 22 - 9 = 13 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 13 - 11 = 2 | 2 - 13 = - 11 | | | | **Table on page 7 (2×5)** | 1 - 100 | 101 - 200 | 201 - 300 | 301 - 400 | 401 - 500 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 501 - 600 | 601 - 700 | 701 - 800 | 801 - 900 | 901 - 1000 | **Table on page 8 (2×5)** | 81 - 1 = 80 | 80 - 3 = 77 | 77 - 5 = 72 | 72 - 7 = 65 | 65 - 9 = 56 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 56 - 11 = 45 | 45 - 13 = 32 | 32 - 15 = 17 | 17 - 17 = 0 | | **Table on page 13 (4×2)** | 7³ = | 17³ = 4913 | | --- | --- | | 8³ = | 18³ = 5832 | | 9³ = | 19³ = 6859 | | 10³ = | 20³ = |
- वर्ग किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने की क्रिया है।
- किसी संख्या n का वर्ग n² होता है।
- वर्ग संख्याएँ धनात्मक होती हैं।
- वर्ग का उपयोग ज्यामिति में क्षेत्रफल निकालने के लिए होता है।
- वर्ग संख्याओं के उदाहरण: 1, 4, 9, 16, 25 आदि।
- 📌 वर्ग: किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने की क्रिया।
- 📌 वर्ग संख्या: किसी पूर्णांक का वर्ग।
वर्ग संख्याओं के गुण
अवधारणावर्ग संख्याओं के गुण
वर्ग संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका वर्गमूल पूर्णांक होता है। वर्ग संख्याओं के कई रोचक गुण होते हैं जो गणित की समझ को गहरा करते हैं। सबसे पहले, किसी भी पूर्णांक n का वर्ग n² हमेशा धनात्मक होता है। इसके अलावा, वर्ग संख्याओं के बीच का अंतरक्रम विषम संख्याओं का क्रम होता है। उदाहरण के लिए, 4 - 1 = 3, 9 - 4 = 5, 16 - 9 = 7, 25 - 16 = 9, जो क्रमशः विषम संख्याएँ हैं। यह दर्शाता है कि वर्ग संख्याओं के बीच का अंतर हमेशा एक विषम संख्या होती है। इसी प्रकार, पहली n विषम संख्याओं का योग n² होता है। यह गुण वर्ग संख्याओं की विशेषता को दर्शाता है। वर्ग संख्याओं को भिन्न और दशमलव संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, जैसे (3/5)² = 9/25 और (2.5)² = 6.25। इस प्रकार वर्ग संख्याएँ गणित के विभिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।
- वर्ग संख्याओं का वर्गमूल पूर्णांक होता है।
- वर्ग संख्याओं के बीच का अंतर विषम संख्या होता है।
- पहली n विषम संख्याओं का योग n² होता है।
- वर्ग संख्याएँ धनात्मक होती हैं।
- वर्ग संख्याएँ भिन्न और दशमलव संख्याओं के लिए भी परिभाषित होती हैं।
- 📌 विषम संख्या: ऐसी संख्या जो 2 से विभाजित नहीं होती, जैसे 1, 3, 5, 7 आदि।
- 📌 वर्गमूल: किसी संख्या का वह मान जिसका वर्ग मूल संख्या के बराबर हो।
वर्ग संख्याओं और त्रिभुजाकार संख्याओं के बीच संबंध
अवधारणावर्ग संख्याओं और त्रिभुजाकार संख्याओं के बीच संबंध
त्रिभुजाकार संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें हम त्रिभुज के रूप में व्यवस्थित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 1, 3, 6, 10, 15 आदि त्रिभुजाकार संख्याएँ हैं। इन संख्याओं को हम वस्तुओं को त्रिभुजाकार पैटर्न में व्यवस्थित करके समझ सकते हैं। वर्ग संख्याओं
अभ्यास प्रश्न — Chapter 1
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.निम्नलिखित में से कौन 24 का अभाज्य गुणनखंड (Prime factor) हैं?
उत्तर:
2
व्याख्या:
[{"id": "0644c262-ea99-4056-9a37-bbdf688baa35", "type": "html", "value": " दी गई संख्या का कोई भी गुणनखंड जो अभाज्य संख्या है, वह संख्या का अभाज्य गुणनखंड कहलाता है। दिए गए विकल्पों में से, संख्या 1, 2, 4 और 6 सभी 24 के गुणनखंड हैं, परंतु 1, 4 और 6 भाज्य संख्याएँ हैं केवल 2 अभाज्य संख्या है। इसलिए दिए गए विकल्पों में से संख्या 2, 24 का अभाज्य गुणनखंड है। "}]
Q2.अभाज्य गुणनखंडन (Prime factor) की विधि का प्रयोग करते हुए, √3136 का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
56
व्याख्या:
[{"id": "720b3d44-c91c-426c-9286-b30b06480148", "type": "html", "value": " 3136 का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार किया जा सकता है। तो, 136 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 7 x 7 चलिए समान अभाज्य गुणनखंडों के युग्म बनाएँ 3136 = (2 x 2) x (2 x 2) x (2 x 2) x (7 x 7) इसलिए, √3136 = 2 x 2 x 2 x 7 = 56 "}]
Q3.2, 3, 5 और 6 से विभाजित होने वाला सबसे छोटा वर्ग कौनसा है?
उत्तर:
900
व्याख्या:
[{"id": "a376cde1-90da-47c3-b550-bc41df51747a", "type": "html", "value": " 2, 3, 5 और 6 से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या, इन संख्याओं का ल.स. है। तो 2, 3, 5, 6 का ल.स. = 2 x 3 x 5 इन संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटे वर्ग को ज्ञात करने के लिए हमें इसके अभाज्य गुणनखंडों को ज्ञात करना होगा। तो, सबसे छोटा वर्ग जो 2, 3, 5 और 6 से विभाज्य है = (2 x 2) x (3 x 3) x (5 x 5) = 900 "}]
Q4.एक किसान ने कुछ पंक्तियों और स्तंभों में 1444 पौधे इस प्रकार लगाए कि प्रत्येक स्तंभ में जितने पौधें उतने ही पौधें प्रत्येक पंक्ति में है। एक पंक्ति में पौधों की संख्या कितनी है?
उत्तर:
38
व्याख्या:
[{"id": "07d7de54-3fd2-4029-8223-e41872073bc0", "type": "html", "value": " दी गई स्थिति के अनुसार, एक पंक्ति में पौधों की संख्या = एक स्तंभ में पौधों की संख्या पौधों की कुल संख्या = एक पंक्ति में पौधों की संख्या × एक स्तंभ में पौधों की संख्या मान लेते हैं कि एक पंक्ति में पौधों की संख्या = x, तो पौधों की कुल संख्या = x² = 1444 यानि कि x = √1444 क्योंकि, 1444 = 2 x 2 x 19 x 19 इसलिए, x = √1444 = 2 x 19 = 38 Thus there are 38 plants in each row. अतः प्रत्येक पंक्ति में 38 पौधें हैं। "}]
Q5.एक आयत की लंबाई 24 cm है और चौड़ाई 7 cm है। इसके विकर्ण (Diagonal) की लंबाई है _____ ।
उत्तर:
25 cm
व्याख्या:
[{"id": "77b0e877-befa-4f3a-bdd6-e65adbd194f6", "type": "html", "value": " यदि आयत की लंबाई l है, आयत की चौड़ाई b है और विकर्ण की लंबाई c है तो ये इस प्रकार संबंधित हैं c² = a² + b² तो, c² = 24² + 7² c² = (24 x 24) + (7 x 7) = 576 + 49 c² = 625 यानि कि, c = √625 अभाज्य गुणनखंडन के प्रयोग से हमें प्राप्त होता है, c = √(5 x 5 x 5 x 5) यानि कि, c = 5 x 5 = 25 cm इसलिए आयत के विकर्ण की लंबाई 25 cm है। "}]
Q6.सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या (Perfect square number) ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक संख्या 3, 18 और 22 से विभाजित है।
उत्तर:
4356
व्याख्या:
[{"id": "fe3d007e-1fd1-45a7-911d-41a79e718879", "type": "html", "value": " यदि हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जो 3, 18 और 22 से विभाज्य है, तो हमें 3, 18 और 22 का ल.स. ज्ञात करना होगा। 3, 18 और 22 का ल.स. है = 198 संख्या 198, पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है। हम जानते हैं कि पूर्ण वर्ग संख्या में सभी अभाज्य गुणनखंड युग्म में होते हैं। 198 के अभाज्य गुणनखंड है: 198 = 3 x 3 x 2 x 11 इसमें संख्या 2 और 11 युग्म में नहीं है। इसलिए हम दोनों पक्षों को 2 और 11 से गुणा करेंगे। तो 198 x 2 x 11 = (3 x 3) x (2 x 2) x (11 x 11) 4356 = (3 x 3) x (2 x 2) x (11 x 11) 4356 का वर्गमूल है: 4356 = 3² x 2² x 11² 4356 = (3 x 2 x 11)² 4356 = 66² √4356= 66 इसलिए, संख्या 4356 पूर्ण वर्ग संख्या है और इसके अभाज्य गुणनखंड है (3 x 3) x (2 x 2) x (11 x 11), संख्या 4356 के सभी अभाज्य गुणनखंड युग्म में है। इसलिए 4356 सबसे छोटा पूर्ण वर्ग है जो 3, 18 और 22 से विभाज्य है। "}]
Q7.दी गई जानकारी में एक विशिष्ट अवलोकन (Observation) जितने बार आता है उसे _____ कहते है।
उत्तर:
बारंबारता (Frequency)
व्याख्या:
[{"id": "75c111ee-d213-4ef6-adc1-a727f8c2bbaa", "type": "html", "value": " दी गई जानकारी में एक विशिष्ट अवलोकन (Observation) जितने बार आता है उसे बारंबारता (Frequency) कहते है। "}]
Q8.वर्ग अंतराल 12 - 15 में, निम्न श्रेणी की सीमा (Lower class limit) ______ है।
उत्तर:
12
व्याख्या:
[{"id": "f61ee6c8-7893-48f9-b1c5-dfa8170eff30", "type": "html", "value": " वर्ग अंतराल 12 - 15 में, निम्न वर्ग सीमा 12 है। "}]
Ganita Prakash (Hindi) के सभी 7 अध्याय
Mathematics · Class 8